Визначення найбільших перекручувань напрямку і кута.

Визначення найбільших перекручувань напрямку і кута. Перекручування форми.

Як указувалося вище, перекручування напрямку визначається різницею кутів І – V. Для різних напрямків ця різниця має різне значення. При оцінці достоїнств тієї або іншої проекції необхідно визначити найбільше значення різниці (І – V)max , тобто визначити найбільше перекручування напрямку, яке можна зустріти в даній точці.

Найбільше перекручування напрямку прийняте позначати , тобто

(І – V)max = .

Для визначення існує формула

Де а і b— масштаби за головними напрямками.

Тому що еліпс перекручувань являє собою симетричну фігуру, то для будь-якої точки До еліпса (мал. 14), за винятком точок, що лежать у перетинаннях з його осями найдуться ще три точки ДО1 , ДО2 і ДО3, що будуть відстояти від центра еліпса на тій же відстані, що і точка К.

Звідси виходить, що масштаби в центрі еліпса перекручувань за напрямками на ці точки будуть однакові. Також однакові будуть і перекручування самих напрямків на ці точки.

Мал.1 Напрямок, у якому масштаби на карті однакові

Це твердження справедливе і для напрямків, що характеризуються найбільшими перекручуваннями. Отже, з будь-якої точки карти можна провести не один, а чотири напрямки, що мають найбільші перекручування. З будь-якої пари цих напрямків можна скласти кут, перекручування якого на карті буде дорівнювати подвійному найбільшому перекручуванню напрямку. Виходить, найбільше перекручування кута в будь-якій точці карти буде дорівнювати .

Аналіз формули (12) показує, що найбільші перекручування напрямку і кута залежать від різниці масштабів за головними напрямками. Чим більше ця різниця, тим більше і найбільше перекручування напрямку або кута.

Кути на карті в межах еліпса перекручувань між довільними напрямками можуть бути як менше, так і більше відповідних кутів на глобусі. Так, на мал. 13 а, б NОЕ на карті менше N0O0E0 на глобусі, а EON' більше E0O0N0´ на ту саму величину. Отже, найбільше перекручування кутів на карті в даній точці може мати як позитивне, так і негативне значення.

Перекручування кутів на карті викликає перекручування форм. Показником, що характеризує перекручування форм, є відношення великої півосі еліпса до малого або, що те саме, відношення найбільшого масштабу до найменшого. Позначивши цей показник буквою k, будемо мати

Величини k і тісно зв'язані між собою, і даному значенню k буде відповідати тільки одне цілком визначене значення . Наприклад, при k =1,50, = 23°54', при k =2,00, = 38°57', при k = 3,00, =60°00'.

Приклад. У даній точці карти т = 3, П=1, = 90°. Визначити, чому дорівнює найбільше перекручування кута в цій точці.

Тому що на карті кут між меридіаном і паралеллю в даній точці дорівнює 90°, то меридіан і паралель, проведені через цю точку, є головними напрямками. Виходить,

А=т=3, b=n=1 .

Знаходимо

Відкіля

30°

А найбільше перекручування кута =60°.

Примітка. Якщо кут не дорівнює 90°, то спочатку варто визначити значення а і b по формулі (7).

На закінчення дійсного параграфа необхідно відзначити, що всі показники, яки характеризують перекручування довжин, площ, кутів і форм у будь-якій точці карти, тісно зв'язані між собою і можуть бути визначені, якщо відомі в даній точці карти масштаби за головними напрямками або масштаби за меридіаном і паралеллю і кут між ними.

У таблиці 1 дані показники різних видів перекручувань для частки випадку при а= 1,257 і b = 0,802. Приведені величини, строго говорячи, справедливі лише на нескінченно малій площі карти, у центрі якої розташована дана точка, але практично ними можна користуватися на невеликих ділянках карти, причому, чим менше будуть ці ділянки, тим точніше знайдені величини будуть характеризувати перекручування. Розмір цих ділянок буде залежати від масштабу карти, її проекції і точності вимірів, що допускається.

Для більшої наочності і кращого судження про характер і величину перекручувань іноді в зарамковому оформленні карт на окремих схемах лініями показуються геометричні місця точок з однаковими найбільшими перекручуваннями. Лінії, усі точки яких мають на карті однакові найбільші перекручування довжин, кутів або площ, називаються ізоколами. У залежності від того, який вид перекручувань ці лінії відбивають, розрізняють ізоколи довжин, ізоколи кутів і ізоколи площ.

Таблиця 1 Показники різних видів перекручувань у даній точці карти

Приклади з загальної теорії перекручувань

1. У даній точці карти меридіани і паралелі є головними напрямками, причому т = 1, N =1,4.

Не прибігаючи до формул, визначити, чому в цій точці дорівнює кут орієнтування еліпса перекручувань.

2. У даній точці карти а=1,5, b = 0,5. Визначити в цій точці найбільше перекручування кута.

Відповідь: = 60°.