Эллипс искажений

Эллипс искажений. Главные направления и масштабы по ним.

В подробных курсах математической картографии доказывается, что бесконечно малый круг, взятый на глобусе, при перенесении его на плоскость любым способом изображается бесконечно малым эллипсом. В частных случаях бесконечно малый круг может изобразиться на плоскости бесконечно малым кругом или бесконечно малым отрезком прямой. Это, однако, не противоречит общему положению, так как круг и отрезок прямой представляют собой частные случаи эллипса, у которого в первом случае большая ось равна малой, а во втором случае — малая ось равна нулю.

Бесконечно малый эллипс на карте (плоскости), соответствующий бесконечно малому кругу на глобусе, называется эллипсом искажений. Название эллипса искажений он носит потому, что его размеры и форма вполне характеризуют искажения длин, углов и площадей фигур при перенесении их с глобуса на карту.

Пусть бесконечно малый круг на глобусе с центром в точке Мо и радиусом С (рис. 1 а) соответствует на карте эллипсу искажений с центром в точке М и полуосями А и B (рис. 1 б) и пусть направлениям полуосей эллипса искажений МА и MB соответствуют на глобусе направления двух взаимно-перпендикулярных полудиаметров круга МoАo и MoВo.

В подробных курсах математической картографии доказывается, что главным осям эллипса искажений на плоскости обязательно соответствуют два взаимно-перпендикулярных диаметра соответствующего бесконечно малого круга на сфере.

Рис. 1. Бесконечно малый круг на глобусе и соответствующий ему эллипс

Искажений на карте

Введя обозначения

AoMo = с, МА = А, МВ = b, МК = с',

Где K—произвольная точка на эллипсе, получим масштабы при точке М по направлениям MA, MK и MB в виде

Обозначив масштаб по любому направлению буквой у, для указанных трех направлений будем иметь

и

Обозначив масштаб по любому направлению буквой , для указанных трех направлений будем иметь

Принимая радиус с бесконечно малого круга на глобусе равным единице, окончательно получим

Где А, B и С' — отвлеченные числа, выражающие собой длины большой и малой полуосей эллипса искажений и радиуса-вектора произвольной точки в радиусах соответствующего бесконечно малого круга на глобусе.

Очевидно, что в любой-точке карты масштаб будет иметь наибольшее значение () по направлению большой оси (направления МА и МD) и наименьшее значение () по направлению малой оси (направления MB и ME) эллипса искажений, которые между собой взаимно-перпендикулярны. Такие два взаимно-перпендикулярных направления в любой точке карты, имеющие наибольший и наименьший масштабы, называются главными направлениями.

Из определения следует, что масштаб по одному из главных направлений равен большой полуоси а эллипса искажений, а по другому направлению его малой полуоси B выраженным в радиусах соответствующего бесконечно малого круга на глобусе. Если в данной точке карты А= 1,5, B=1,2, то это означает, что масштаб по направлению большой полуоси эллипса искажений в 1,5 раза, а по направлению его малой полуоси в 1,2 раза крупнее главного масштаба карты (масштаба глобуса). Так как меридианы и параллели на глобусе во всех его точках пересекаются под прямыми углами, то они будут являться главными, направлениями на карте лишь в тех ее точках, где они пересекаются также под прямыми углами; в тех же точках карты, где меридианы и параллели пересекаются под острыми или тупыми углами, они главными направлениями являться не будут.