Масштаб площади

Масштаб площади на карте

Масштабом площади в данной точке карты называется отношение площади бесконечно малого эллипса на карте к площади соответствующего бесконечно малого круга на земном эллипсоиде.

Известно, что площадь эллипса с полуосями А и B вычисляется по формуле

,

а площадь круга—по формуле

.

Обозначив масштаб площади буквой Р и взяв отношение площади эллипса к' площади круга, будем иметь

Или

Из последнего выражения видно, что масштаб площади в данной точке карты равен произведению масштабов по главным направлениям в этой же точке.

Считая главный масштаб карты и приравняв радиус бесконечно малого круга с на эллипсоиде к единице, будем иметь

(4)

Где А и B—числа отвлеченные, выражающие собой длины большой и малой полуосей эллипса искажений на карте в радиусах бесконечно малого круга на эллипсоиде.

Для определения масштаба площади можно поступить и иначе. Пусть направлениям меридиана MoNo и параллели МoEo в бесконечно малом круге на эллипсоиде (рис. 12 а) соответствуют на карте в эллипсе искажений расположенные под углом в направления, MN и ME (рис. 126), точкам Ho, Аo, Fo соответствуют точки H, А и F, а направлениям AoDo и СoBo —главные направления (оси эллипса) AD и СВ. Тогда масштаб площади можно определить как отношение площади бесконечно малого параллелограмма MHAF к площади бесконечно малого прямоугольника MoHo AoFo, и получить равенство

Но

а

Следовательно,

Т. е. масштаб площади равен произведению масштабов по меридиану и параллели на синус угла между ними. Итак, для определения масштаба площади можно пользоваться как формулой (4), так и формулой (5).

Рис. 1. Направления меридиана и параллели в бесконечно малом круге на эллипсоиде и соответствующем ему эллипсе на карте

Зная масштаб площади, можно определить и относительное искажение площади по формуле

= Р-1

Относительное искажение площадей так же, как и относительное искажение длин, выражается в процентах. Так например, если р=1,23, то =0,23, или =23%

Следует отметить, что, кроме понятия масштаба площади, существует также понятие увеличения масштаб а площади, под которым понимают отношение площади бесконечно малой фигуры на карте к площади соответствующей бесконечно малой фигуры на глобусе, масштаб которого равен главному масштабу карты. Именно это увеличение и характеризует собой искажение площадей. При Увеличение масштаба площади равно масштабу площади. Поэтому в дальнейшем изложении термин «увеличение масштаба площади» будет заменяться термином «масштаб площади».