Искажение формы

Определение наибольших искажений направления и угла. Искажение формы.

Как указывалось выше, искажение направления определяется разностью углов И – V. Для различных направлений эта разность имеет разное значение. При оценке достоинств той или иной проекции необходимо определить наибольшее значение разности (И – V)Max , т. е. определить наибольшее искажение направления, какое можно встретить в данной точке.

Наибольшее искажение направления принято обозначать , т. е.

(И – V)Max =.

Для определения существует формула

Где а и b— масштабы по главным направлениям.

Так как эллипс искажений представляет собой симметричную фигуру, то для любой точки К эллипса (рис. 1), за исключением точек, лежащих в пересечениях с его осями найдутся еще три точки К1 , К2 и К3, которые будут отстоять от центра эллипса на том же расстоянии, что и точка К.

Отсюда выходит, что масштабы в центре эллипса искажений по направлениям на эти точки будут одинаковы. Также одинаковы будут и искажения самих направлений на эти точки.

Рис.1 Направления, по которым масштабы на карте одинаковы

Это утверждение справедливо и для направлений, характеризующихся наибольшими искажениями. Следовательно, из любой точки карты можно провести не одно, а четыре направления, имеющих наибольшие искажения. Из любой пары этих направлений можно составить угол, искажение которого на карте будет равно двойному наибольшему искажению направления. Значит, наибольшее искажение угла в любой точке карты будет равно.

Анализ формулы (12) показывает, что наибольшие искажения направления и угла зависят от разности масштабов по главным направлениям. Чем больше эта разность, тем больше и наибольшее искажение направления или угла.

Углы на карте в пределах эллипса искажений между произвольными направлениями могут быть как меньше, так и больше соответствующих углов на глобусе. Так, на рис. 2 а, б NОЕ на карте меньшеNoOoEo на глобусе, а EON' большеEoOoNo´ на одну и ту же величину. Следовательно, наибольшее искажение углов на карте в данной точке может иметь как положительное, так и отрицательное значения.

Искажение углов на карте вызывает искажение форм. Показателем, характеризующим искажение форм, является отношение большой полуоси эллипса к малой или, что одно и то же, отношение наибольшего масштаба к наименьшему. Обозначив этот показатель буквой k, будем иметь

Величины k и тесно связаны между собой, и данному значению k будет соответствовать только одно вполне определенное значение . Например, при k =1,50, = 23°54', при k =2,00, = 38°57', при k = 3,00, = 60°00'.

Пример. В данной точке карты т = 3, П=1, = 90°. Определить, чему равняется наибольшее искажение угла в этой точке.

Так как на карте угол между меридианом и параллелью в данной точке равен 90°, то меридиан и параллель, проведенные через эту точку, являются главными направлениями. Значит,

А=т=3, B=n=1 .

Находим

Откуда

30°

А наибольшее искажение угла =60°.

Примечание. Еслн угол не равняется 90°, то вначале следует определить значения а и b по формуле (7).

В заключение настоящего параграфа необходимо отметить, что все показатели, характеризующие искажения длин, площадей, углов и форм в любой точке карты, тесно связаны между собой и могут быть определены, если известны в данной точке карты масштабы по главным направлениям или масштабы по меридиану и параллели и угол между ними.

В таблице 1 даны показатели различных видов искажений для частного случая при а= 1,257 и b = 0,802. Приведенные величины, строго говоря, справедливы лишь на бесконечно малой площади карты, в центре которой расположена данная точка, но практически ими можно пользоваться на небольших участках карты, причем, чем меньше будут эти участки, тем точнее найденные величины будут характеризовать искажения. Размер этих участков будет зависеть от масштаба карты, ее проекции и допускаемой точности измерений.

Для большей наглядности и лучшего суждения о характере и величине искажений иногда в зарамочном оформлении карт на отдельных схемах линиями показываются геометрические места точек с одинаковыми наибольшими искажениями. Линии, все точки которых имеют на карте одинаковые наибольшие искажения длин, углов или площадей, называются изоколами. В зависимости от того, какой вид искажений эти линии отражают, различают изоколы длин, изоколы углов и изоколы площадей.

Таблица 1 Показатели различных видов искажений в данной точке карты

Примеры из общей теории искажений

1. В данной точке карты меридианы и параллели являются главными направлениями, причем т = 1, N =1,4.

Не прибегая к формулам, определить, чему в этой точке равен угол ориентировки эллипса искажений.

2. В данной точке карты а=1,5, b = 0,5. Определить в этой точке наибольшее искажение угла.

Ответ: = 60°.