Классификация картографических проекций

Картографическая проекция

Картографические проекции можно классифицировать по двум основным признакам:

— по характеру искажений;

— по виду меридианов и параллелей нормальной картографической сетки.

Картографическая сетка называется нормальной в том случае, если меридианы и параллели на карте в данной проекции изображаются более простыми линиями, чем координатные линии любой другой системы сферических координат.

По характеру искажений проекции делятся на равноугольные (конформные), равновеликие (эквивалентные), равнопромежуточные и произвольные.

Равноугольными (конформными) называются такие проекции, в которых бесконечно малые фигуры на карте подобны соответствующим фигурам на глобусе. В этих проекциях бесконечно малый круг, взятый на глобусе в любой его точке, при перенесении на карту изобразится также бесконечно малым кругом, т. е. эллипс искажений в равноугольных проекциях обращается в круг. В равноугольных проекциях в бесконечно малых фигурах на карте и на глобусе соответствующие углы равны между собой, а стороны пропорциональны. Например, на рис. 15а, б АoМoКo= АМК, a . Масштабы по меридиану и параллели равны между собой, т. е. Т=п. Угол между меридианами и параллелями на карте = 90°, а общие формулы из теории искажений имеют вид

= т = п = а = B, Р = т2, = 0.

Равенство масштабов показывает, что масштаб в любой точке карты в равноугольных проекциях от направления не зависит. Но

Рис. 1. Бесконечно малый круг на глобусе и на карте в равноугольной проекции

При переходе от точки к точке (при изменении координат точки) масштаб меняется. Это значит, что одинаковые по своим размерам бесконечно малые круги, взятые в разных точках глобуса, изобразятся на карте также бесконечно малыми кругами, но различных размеров (в данном случае под бесконечно малым кругом на глобусе можно понимать круг с диаметром около 1 см).

Равновеликими (эквивалентными) называются такие проекции, в которых масштаб площади во всех точках карты равен единице. В этих проекциях бесконечно малый круг (рис. 2 а),

Рис. 2. Круг на глобусе и эллипс на карте в равновеликой проекции

Взятый на глобусе, изобразится на карте равным по площади бесконечно малым эллипсом (рис. 2 б).

Так как площадь эллипса

,

а площадь круга—по формуле

.

То для этих проекций будет справедливо равенство

Или

При =1, свойство равновеликости проекций аналитически выражается равенством

P = Ab = L.

Итак, в равновеликих проекциях произведение масштабов по главным направлениям равно единице.

Если равноугольные проекции сохраняют равенство углов только в бесконечно малых фигурах, то равновеликие проекции сохраняют площади любых фигур независимо от их размеров на карте. В этих проекциях углы между меридианами и параллелями на карте могут быть не равны 90°. Следует помнить, что свойства равноугольности и равновеликости в одной проекции несовместимы, т. е. не может быть таких проекций, которые одновременно сохраняли бы равенство углов и равенство площадей во всех точках карты.

Равнопромежуточными называются такие проекции, в которых в каждой точке карты сохраняются длины по одному из главных направлений. В этих проекциях а =Или b = . При =1 аналитически свойство равнопромежуточности выражается равенством

А=1 Или B=1.

Иногда под равнопромежуточными понимают и такие проекции, в которых отношение или остается постоянным, хотя и не равным единице.

В равнопромежуточных проекциях круг, взятый в любой точке глобуса (рис. 3 а), изобразится на карте эллипсом (рис. 3 б или 3 в), одна из полуосей которого будет равна радиусу этого круга.

По характеру искажений эти проекции занимают среднее место между равноугольными и равновеликими проекциями. Не сохраняя ни углов, ни площадей, они меньше, чем равновеликие проекции, искажают углы и меньше, чем равноугольные проекции, искажают площади и поэтому применяются в тех случаях, когда нет надобности за счет увеличения искажения площадей сохранить равенство углов или, наоборот, за счет увеличения искажения углов сохранить равенство площадей.

Произвольными называются такие проекции, которые не обладают свойствами равноугольности, равновеликости или равнопромежуточности. Класс произвольных проекций является наиболее обширным, сюда могут быть включены проекции, резко отличающиеся друг от друга по характеру искажений.

Произвольные проекции применяются в основном для карт мелкого масштаба, в частности для карт полушарий и мировых, и в отдельных случаях для карт крупного масштаба.

Рис. 3. Круг на глобусе и эллипсы на карте в равнопромежуточной проекции

По виду меридианов и параллелей нормальной картографической сетки проекции подразделяются на конические, цилиндрические, азимутальные, псевдоконические, псевдоцилиндрические, поликонические и прочие. Причем в пределах каждого из этих классов могут быть разные по характеру искажений проекции (равноугольные, равновеликие и т. д.).

Конические проекции

Коническими называются такие проекции, в которых параллели нормальной сетки изображаются дугами концентрических окружностей, а меридианы — их радиусами, углы между которыми на карте пропорциональны соответствующим разностям долгот в натуре.

Геометрически картографическую сетку в этих проекциях можно получить путем проектирования меридианов и параллелей на боковую поверхность конуса с последующим развертыванием этой поверхности в плоскость.

Представим себе конус, касающийся глобуса по некоторой параллели АоВоСо (рис. 4). Продолжим плоскости географических меридианов и параллелей глобуса до пересечения их с поверхностью конуса. Линии пересечения указанных плоскостей с поверхностью конуса примем соответственно за изображения меридианов и параллелей глобуса. Разрежем поверхность конуса по образующей и развернем ее в плоскость; тогда получим на плоскости картографическую сетку в одной из конических проекций (рис. 5).

Параллели с глобуса на поверхность конуса можно перенести и другими способами, а именно: путем проектирования лучами, исходящими из центра глобуса или из некоторой точки, находящейся на оси конуса, путем откладывания на меридианах проекции в обе стороны от параллели касания выпрямленных дуг меридианов глобуса, заключенных между параллелями, и последующего проведения через точки отложения концентрических окружностей из точки S (рис. 5), как из центра. В последнем случае параллели на плоскости будут расположены на таком же расстоянии друг от друга, как и на глобусе.

При указанных выше способах перенесения географической сетки с глобуса на поверхность конуса параллели на плоскости будут

Рис.4 Конус, касающийся Глобуса по параллели.

Рис. 5 Отложения концентрических окружностей.

Картографическая сетка в конической проекции изображаться дугами концентрических окружностей, а меридианы будут представлять собой прямые, исходящие из одной точки и составляющие между собой углы, пропорциональные соответствующим разностям долгот.

Последняя зависимость может быть выражена уравнением

(13)

Где угол между соседними меридианами на карте, называемый углом схождения, или сближения, меридианов на плоскости,

— разность долгот тех же меридианов,

— коэффициент пропорциональности, называемый показателем конической проекции. В конических проекциях Всегда меньше единицы.

Радиусы Параллелей на карте зависят от широты этих параллелей, т. е.

(14)

Таким образом, картографическую сетку можно сразу построить на плоскости, минуя проектирование на вспомогательную поверхность конуса, если известны показательИ зависимость между и .

При выборе конических проекций для изображения данной территории необходимо найти такое значение а и такую зависимость р от ср, чтобы получить требуемую по характеру искажений проекцию (равноугольную, равновеликую, равнопромежуточную или произвольную) с возможно меньшими искажениями в целом.

Конус по отношению к глобусу может быть расположен различно. Ось конуса может совпадать с полярной осью глобуса РР, составлять с нею угол в 90° и, наконец, пересекать ее под произвольным углом. В первом случае конические проекции называются нормальными (прямыми) , во втором — поперечными и в третъем — косыми. На рис. 7 показано положение конусов при нормальной (а), поперечной (б) и косой (в) конических проекциях. Каждая из них в свою очередь может быть на касательном или секущем конусе.

Очевидно, что в поперечной и косой конических проекциях при любых способах проектирования с глобуса на поверхность конуса меридианы и параллели изобразятся в виде сложных кривых линий. Сходящимися прямыми линиями и концентрическими окружностями на поверхности конуса в этих случаях соответственно изобразятся дуги больших кругов, проходящих через точки пересечения оси конуса с поверхностью глобуса, и перпендикулярные им дуги малых кругов. Указанные дуги больших кругов на сфере называются вертикалами, а дуги малых кругов — альмукантаратами.

Картографическая сетка имеет наиболее простой вид в нормальных конических проекциях, в которых она носит название нормальной, или прямой, сетки. В поперечных проекциях картографическая сетка называется поперечной, а в косых проекциях — косой.

Во всех нормальных конических проекциях, за исключением равноугольных, полюс изображается дугой. В равноугольных конических проекциях полюс изображается точкой.

Вид картографической сетки в нормальных конических проекциях для изображения северного полушария показан на рис. 8 (равнопромежуточная коническая проекция).

В нормальных конических проекциях линиями нулевых искажений являются параллели сечения или параллель касания, а изоколы совпадают с параллелями. Искажения нарастают в обе стороны по мере удаления от этих параллелей, причем масштаб по параллелям

На карте между параллелями сечения всегда меньше единицы, на параллели касания и на параллелях сечения равен единице, а в остальных местах больше единицы и возрастает по мере удаления от этих параллелей к полюсам. Аналитически конические проекции на касательном конусе характеризуются выражением

А на секущем конусе — выражением

Где — минимальный масштаб по параллели.

Конические проекции нашли широкое применение для изображения территорий, вытянутых узкой или широкой полосой вдоль параллелей. В первом случае выгоднее применять конические проекции на касательном конусе, во втором — на секущем конусе. В частности, для карт Украины широко используются конические проекции на секущем конусе.

Поперечные и косые конические проекции выгодно применять соответственно для карт стран, вытянутых вдоль дуг малых кругов, параллельных осевому меридиану, и дуг малых кругов произвольного направления, но эти проекции ввиду сложности их вычисления практического применения не нашли.

Цилиндрические проекции

Цилиндрическими называются такие проекции, в которых параллели нормальной сетки изображаются параллельными прямыми, а меридианы — равноотстоящими прямыми, перпендикулярными к линиям параллелей.

Геометрически картографическую сетку в этих проекциях можно получить путем проектирования меридианов и параллелей глобуса на боковую поверхность цилиндра с последующим развертыванием этой поверхности в плоскость.

Рис.8. Картографическая сетка в равнопромежуточной конической проекции.

Представим себе цилиндр, касающийся глобуса по экватору (рис. 9) Продолжим плоскости географических меридианов и параллелей до пересечения с боковой поверхностью цилиндра. Примем соответственно за изображения меридианов и параллелей на поверхности цилиндра линии пересечения указанных плоскостей с поверхностью цилиндра. Разрежем поверхность цилиндра по образующей и развернем ее в плоскость. Тогда на этой плоскости получится картографическая сетка в одной из цилиндрических проекции как и в конических проекциях, параллели нормальной картографической сетки можно перенести на поверхность цилиндра и другими способами, а именно: путем проектирования лучами, исходящими из центра глобуса или из некоторой точки, находящейся на оси цилиндра путем откладывания на меридианах проекции в обе стороны от экватора выпрямленных дуг меридианов глобуса, заключенных между параллелями, и последующего проведения через точки отложения прямых, параллельных экватору. В последнем случае параллели на карте будут расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.

Рассмотренная цилиндрическая проекция (рис. 9) является проекцией на касательном цилиндре. Таким же образом можно построить и проекцию на секущем цилиндре.

На рис 10 показан цилиндр, секущий глобус по параллелям AFB и CKD. Очевидно, что в первом случае на экваторе (рис. 9), а во втором случае на параллелях сечения AFB и CKD (рис. 10) масштаб, на карте будет равен главному, т. е. экватор

Рис. 9. Цилиндр, касающийся глобуса по экватору, и часть поверхности цилиндра, развернутая в плоскость и указанные параллели сечения будут сохранять свою длину на карте. Цилиндр по отношению к глобусу может быть расположен различно.

Рис. 10. Цилиндр, секущий глобус по параллелям

 В зависимости от положения оси цилиндра относительно оси глобуса цилиндрические проекции, подобно коническим, могут быть нормальными, поперечными и косыми. В соответствии с этим и картографическая сетка в этих проекциях будет иметь название нормальной, поперечной и косой. Поперечные и косые картографические сетки в цилиндрических проекциях имеют вид сложных кривых линий.

Как и в случае с коническими проекциями, для построения нормальных сеток цилиндрических проекций нет надобности проектировать поверхность глобуса сначала на цилиндр, а затем последний развертывать в плоскость. Для этого достаточно знать прямоугольные координаты х и у точек пересечения параллелей и меридианов на плоскости. Причем в цилиндрических проекциях абсциссы х выражают собой удаление параллелей от экватора, а ординаты у—удаление меридианов от среднего (осевого) меридиана.

Исходя из этого, общие уравнения всех нормальных цилиндрических проекций можно представить в виде:

(15)

Где С — постоянный множитель, представляющий собой радиус экватора (для проекций на касательном цилиндре) или радиус параллели сечения глобуса (для проекций на секущем цилиндре),

и — широта и долгота данной точки, выраженные в радианной мере,

Х, у — прямоугольные координаты той же точки на карте. В зависимости от выбора функции Цилиндрические проекции могут быть по характеру искажений равноугольными, равновеликими, равнопромежуточными или произвольными. Зависимостью же х от среднего определяются и расстояния между параллелями на карте. Расстояния между меридианами зависят от множителя С. Таким образом, выбирая ту или иную зависимость х от и то или иное значение С, можно получить требуемую проекцию как по характеру искажений, так и по распределению их относительно экватора или средней параллели карты (параллели сечения).

Рис 11 Картографическая сетка в квадратной цилиндрической проекции.

Вид картографической сетки в нормальных цилиндрических проекциях для изображения всей земной поверхности показан на рис. 11 (квадратная цилиндрическая проекция).

В цилиндрических проекциях так же, как и в конических, линиями нулевых искажений в нормальных картографических сетках являются параллели сечения или параллель касания, а изоколы совпадают с параллелями. Искажения нарастают по мере удаления от параллели касания (параллелей сечения) в обе стороны.

Нормальные цилиндрические проекции применяются в основном для изображения территорий, вытянутых вдоль экватора, и сравнительно редко для изображения территорий, вытянутых по произвольной параллели, так как в последнем случае они дают большие искажения, чем конические проекции.

В поперечных и косых цилиндрических проекциях линией нулевых искажений является дуга большого круга, по которой цилиндр касается шара или эллипсоида. Изоколы изображаются прямыми, параллельными линии нулевых искажений, а искажения нарастают в обе стороны от линии нулевых искажений.

Поперечные цилиндрические проекции применяются для изображения территорий, вытянутых вдоль меридиана, а косые — для изображения территорий, вытянутых в произвольном направлении по дуге большого круга.

Азимутальные проекции

Азимутальными (зенитальными) называются такие проекции, в которых параллели нормальной сетки изображаются концентрическими окружностями, а меридианы — их радиусами, углы между которыми равны соответствующим разностям долгот в натуре. Геометрически картографическую сетку в этих проекциях можно получить следующим образом. Если через ось глобуса и меридианы провести плоскости до их пересечения с плоскостью, касательной к глобусу в одном из полюсов, то на последней образуются меридианы в азимутальной проекции. При этом углы между меридианами на плоскости будут равны соответствующим двугранным углам на глобусе, т. е. разностям долгот меридианов. Для получения параллелей в азимутальной проекции из точки пересечения меридианов проекции, как из центра, следует провести концентрические окружности радиусами, равными, например, выпрямленным дугам меридианов от полюса до соответствующих параллелей. При таких радиусах параллелей получится равнопромежуточная азимутальная проекция

Плоскость может не только касаться, но и сечь поверхность глобуса по некоторому малому кругу, от этого сущность азимутальной проекции не меняется. Так же, как и в конических проекциях, в зависимости от расположения плоскости относительно полярной оси глобуса картографическая сетка в азимутальных проекциях может быть нормальной (прямой), поперечной и косой. При нормальной картографической сетке плоскость касается глобуса в одном из полюсов, при поперечной — в точке, лежащей на экваторе, и при косой — в Некоторой произвольной точке с широтой больше 0° и меньше 90°. Нормальные азимутальные проекции называются также полярными, поперечные — экваториальными и косые — горизонтальными азимутальными проекциями.

Исходя из определения нормальных азимутальных проекций, их общие уравнения можно выразить так

(16)

В зависимости от характера связи между радиусом параллели на карте и ее широтой азимутальные проекции по характеру искажений могут быть равноугольными, равновеликими, равнопромежуточными и произвольными.

Рис 12 Картографическая сетка и изоколы углов в косой азимутальной проекции.

В азимутальных проекциях на касательной плоскости точка касания шара или эллипсоида является точкой нулевых искажений, а в проекциях на секущей плоскости окружность сечения служит линией нулевых искажений В обоих случаях изоколы имеют вид концентрических окружностей, совпадающих с параллелями нормальной сетки. Искажения нарастают по мере удаления от точки нулевых искажений (от линии нулевых искажений).

Нормальные, поперечные и косые азимутальные проекции нашли широкое применение для изображения территорий, имеющих округлую форму. В частности, для изображения северного и южного полушарий употребляются только нормальные, а западного и восточного полушарий — только поперечные азимутальные проекции. Косые азимутальные проекции применяются для карт отдельных материков. Вид картографической сетки и изокол углов в одной из косых азимутальных проекций показан на рис. 12. Частным случаем азимутальных проекций являются проекции перспективные.

Перспективными называются такие проекции, в которых параллели и меридианы с шара или эллипсоида переносятся на плоскость по законам линейной перспективы, т. е. при помощи прямых лучей, исходящих из так называемой точки зрения. При этом принимается обязательное условие, чтобы точка зрения находилась на главном луче, т. е. на линии, проходящей через центр шара или эллипсоида, а плоскость проекции (картинная плоскость) была перпендикулярна к этому лучу.