Проекция Гаусса

Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса

Применяемая в настоящее время в Украине для карт масштабов 1 : 500 000 и крупнее равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция названа именем знаменитого немецкого математика Гаусса, разработавшего в 1825 году общую теорию равноугольного изображения одной поверхности на другой.

Проекция Гаусса является проекцией эллипсоида на плоскость, и ее определяют следующие условия:

— равноугольность изображения;

— изображение осевого (среднего) меридиана в виде прямой, по отношению к которой все меридианы и параллели располагаются симметрично;

— сохранение длины осевого меридиана.

Рабочие формулы равноугольной проекции эллипсоида без промежуточного перехода на шар дал Л Крюгер в 1912 году, вследствие чего эту проекцию в литературе также называют проекцией Гаусса Крюгера.

В поперечно-цилиндрической проекции Гаусса в отличие от равноугольной цилиндрической проекции Меркатора проектирование производится на поверхность цилиндра, касающегося поверхности земного эллипсоида (а не шара) не по экватору, а по меридиану (рис. 1). Поэтому и масштаб сохраняется не по экватору НОН1, а по меридиану касания РОР1. При проектировании цилиндр берется с эллиптическим поперечным сечением.

Рис. 1. Цилиндр, касающийся земного эллипсоида по меридиану

Искажения в проекции Гаусса

Искажения в проекции Гаусса нарастают с удалением от осевого меридиана к западу и востоку, а изоколы имеют вид прямых, параллельных меридиану касания (осевому меридиану).

Взаимно - перпендикулярными прямыми в проекции Гаусса изображаются не меридианы и параллели, а дуги малых кругов ABC и DEP (альмукантараты) и дуги больших кругов HQ, НК, НО, HL, перпендикулярные к осевому меридиану (вертикалы). Если альмукантараты ABC, DEF проведены на эллипсоиде через одинаковые промежутки, а вертикалы делят осевой меридиан на равные отрезки LO=OK=KQ, то они, по аналогии с проекцией Меркатора, образуют на карте координатную сеть прямоугольников, как показано на рис. 2. Линиями абсцисс здесь являются изображения альмукантаратов, а линиями ординат изображения вертикалов.

Также по аналогии с проекцией Меркатора с известным допуском можно утверждать, что масштаб в равноугольной поперечно-цилиндрической проекции Гаусса в любой точке карты по любому направлению выражается формулой

Рис. 2 Координаты точки в проекции Гаусса

φ'- центральный угол, измеряющий альмукантарат данной точки.

Угол , выраженный в радианной мере, равен длине стягивающей его дуги вертикала, деленной на радиус шара (в данном случае эллипсоид можно приравнять к шару). Если стягивающую дугу угла обозначить через у0, то

Где R — радиус земного шара. Разложив В ряд, получим

(41)

Эта формула, так же как и формула , показывает, что в проекции Гаусса искажения нарастают с удалением от осевого меридиана, т. е. с увеличением на карте ординаты у.

Меридианы и параллели, за некоторыми исключениями, имеют в проекции Гаусса вид сложных кривых (рис. 3). Экватор, средний осевой) меридиан и меридианы, удаленные от среднего на 90° долготы, являются прямыми линиями.

Рис. 3. Картографическая сетка в проекции Гаусса

Проекция Гаусса при сплошном изображении больших территорий, вытянутых по долготе, дает большие искажения (точки, удаленные по экватору от осевого меридиана на 90° долготы, уходят в бесконечность). Поэтому в целях уменьшения искажений она применяется по зонам, ограниченным линиями меридианов. Каждая зона изображается на плоскости в отдельности, причем за ось X принимается изображение среднего (осевого) меридиана каждой зоны, а за ось У — изображение экватора. Протяженность зон по долготе берется такой, чтобы искажения на их краях были пренебрегаемо малы.

При удалении к западу или востоку от осевого меридиана на 3° относительное искажение длин достигает на экваторе 1/750, а на широте 45° — 1/1500. Такое искажение допустимо для карт масштабов 1: 25 000 и мельче. Однако с удалением от осевого меридиана зоны больше чем на 3° линейные искажения начинают, быстро расти, и становятся недопустимыми. Исходя из этого, в СНГ протяженность зон по долготе установлена в 6°.

Нумерация шестиградусных зон в проекции Гаусса приведена в таблице 5.

Таблица 5

Нумерация шестиградусных зон в проекции Гаусса.

Примечание: При выполнении специальных съемок в масштабах 1: 25 000 и крупнее техническими инструкциями допускается применение трехградусных и даже более узких зон, в зависимости от масштаба съемки и предъявляемых к ней требований.

Изображение зон на плоскости показано на рис. 4. Зная номер зоны, можно определить долготу ее осевого (среднего) меридиана по формуле

L0 = 6N — 3,

Где П — номер зоны,

L0— долгота осевого меридиана.

Наоборот, зная долготу осевого меридиана, легко определить номер зоны по формуле

Абсциссы х в каждой зоне отсчитываются от экватора к северу со знаком плюс, а к югу—со знаком минус. Для всей территории Украины абсциссы х положительны, поэтому знак плюс перед ними не ставится. Ординаты у отсчитываются от осевого меридиана каждой зоны со знаком плюс к востоку и со знаком минус к западу. Чтобы избежать отрицательных значений ординат, их условно увеличивают путем алгебраического прибавления на 500000 м. Кроме того, впереди полученной суммы ставят номер зоны, чтобы знать, в какой зоне находится данная точка. Например, некоторая точка находится в зоне 7 и имеет ординату

У = — 243 435,15 м.

Согласно указанному правилу преобразованное, условное значение ординаты будет

У = 7 256 564,85 м.

Таким образом, для вычисления условной ординаты любой точки должен быть известен номер зоны, в которой точка находится.

Рис. 5,6 Основные обозначения на эллипсоиде и плоскости в проекции Гаусса.

Номер зоны можно определить, зная долготу данной точки или номенклатуру листа какой-либо топографической или обзорно-топографической карты, на котором она расположена.

Для проекции Гаусса приняты следующие основные обозначения (рис. 5 —на эллипсоиде и рис. 6 — на плоскости):

В — геодезическая широта произвольной точки М на эллипсоиде;

L — геодезическая долгота от Гринвича той же точки на эллипсоиде;

L0 — долгота от Гринвича осевого меридиана;

L = L — L0 — разность долгот меридиана данной точки и осевого меридиана;

А — азимут геодезической линии на эллипсоиде;

Хв — длина меридиана от экватора до параллели с широтой данной точки;

х и у — прямоугольные координаты Гаусса соответствующей

Точки М1 на плоскости;

— гауссово сближение меридианов;

— дирекционный угол хорды геодезической линии M1N1´ На плоскости;

Рис. 7. Связь между азимутом, дирекционным углом и сближением меридианов в проекции Гаусса.

— поправка за кривизну изображения геодезической линии M1N1´ (кривой) на плоскости;

N—радиус кривизны первого вертикала в точке с широтой В.

Прямоугольными координатами Гаусса любой точки земного эллипсоида называются плоские прямоугольные координаты изображения соответствующей точки на плоскости в проекции Гаусса.

Гауссовым сближением меридианов в данной точке называется угол, образованный на плоскости меридианом, проходящим через данную точку, и линией, параллельной осевому меридиану.

Геодезической линией между двумя точками на эллипсоиде называется линия кратчайшего расстояния на поверхности эллипсоида между этими точками. Геодезическая линия в проекции Гаусса изображается в виде кривой, образующей со своей хордой некоторый угол 5, называемый поправкой за кривизну кривой. Угол 3 мал и учитывается лишь при обработке триангуляции.

Дирекционным углом какого-либо направления на плоскости называется угол между положительным направлением оси X и данным направлением. Этот угол изменяется от 0 до 360° и отсчитывается от положительного направления оси X по ходу часовой стрелки. Связь между азимутом, дирекционным углом и гауссовым сближением меридианов произвольной точки М1 на плоскости легко определяется из рис. 53.

и

Ниже без вывода приводятся формулы, определяющие проекцию Гаусса

(42)

(43)

В этих формулах

T = TgB,

, где

L" — разность долгот, выраженная в секундах.

P"=206265".

Формулы для вычисления гауссова сближения меридианов И масштаба изображения m по геодезическим координатам данной точки имеют вид

(44)

(45)

Исследования формул (42) и (43) показывают, что при вычислении х и у в шестиградусных зонах для широт в пределах территории СССР члены формул, содержащие L"6, L"5 и L"4 не превышают соответственно 0,005, 0,05 и 3,0 м. Следовательно, при вычислениях х и у для картографических целей (составления карт масштабов 1:100000 и мельче) в правых частях этих формул достаточно удерживать лишь первые два члена.

Исходя из этих же соображений, гауссово сближение меридианов можно вычислять по приближенной формуле

А масштаб изображения в любой точке карты по формуле

(4б)

Формула (46) получается из формулы (41), если в ней отбросить третий и последующие члены и заменить дугу у0 на шаре ординатой у на плоскости; в пределах шестиградусной зоны

Трапеция в проекции Гаусса

Рис.8 Трапеция в проекции Гаусса

Значение Отличается от значения На весьма незначительную величину.

Обычно прямоугольные координаты Гаусса вычисляют не по формулам (42) и (43), а с помощью специальных таблиц. Таблицы для логарифмического вычисления координат Гаусса-Крюгера издания 1946 года, таблицы координат Гаусса-Крюгера издания 47 года. В вводных частях этих таблиц дается подробное их описание, приводятся пояснения к пользованию таблицами и примеры вычисления координат.

В отличие от многогранной проекции, ранее применявшейся у нас для топографических карт, в проекции Гаусса вследствие увеличения искажений в оба направления от осевого меридиана трапеция топографической или обзорно-топографической карты, сторонами которой являются отрезки меридианов и параллелей, не представляет собой геометрически правильной фигуры. Вогнутость меридианов в ней направлена в сторону осевого меридиана (рис. 8). Однако уклонение меридианов от прямой значительно меньше графической точности, которая требуется при построении трапеций карт масштабов 1:500 000 и крупнее. Поэтому боковые стороны трапеций этих карт в проекции Гаусса изображаются прямыми линиями.

Уклонение параллелей от прямой начинает практически ощущаться на трапециях карт масштабов 1:100000 и мельче (с разностью долгот крайних меридианов в 30' и больше). Исходя из этого, каждая параллель (северная или южная сторона) трапеции наносится: для карты масштаба 1:100 000 по координатам трех точек, для карты масштаба 1:200 000 по координатам пяти точек и для карты масштаба 1:500 000 по координатам семи точек. В соответствии с этим для построения трапеций карт масштабов 1:100000, 1:200 000 и 1:500 000 необходимо знать координаты соответственно шести, десяти и четырнадцати точек. Трапеции карт масштабов 1: 50 000 и крупнее строятся по координатам четырех точек (вершин углов).

На рис. 9 показаны схематические изображения трапеций карт масштабов 1 : 10000—1:500000. Для трапеций карт масштабов 1:100000, 1:200000 и 1:500000 указаны промежуточные точки, по координатам которых наносятся параллели, и приведены размеры трапеций в градусной мере (И—размеры трапеции соответственно по широте и долготе).

Прямоугольные координаты Гаусса вершин углов трапеций и промежуточных точек выбираются из специальных таблиц (Таблицы координат Гаусса-Крюгера издания 1947 года). Построение трапеции производится путем нанесения этих точек обычным способом

На координатографе или с помощью штангенциркуля и масштабной линейки. В последнем случае вначале строится квадрат или прямоугольник, а затем от его сторон по координатам наносятся вершины углов трапеции и промежуточные точки, если последние необходимы.

Для удобства обработки геодезических измерений, выполненных на стыке двух смежных зон, установлено взаимное перекрытие координатных зон, по долготе. При этом западная зона перекрывает восточную на 30', а восточная перекрывает западную на 7',5. В соответствии с этим в каталогах геодезических пунктов для всех пунктов, находящихся в полосе перекрытия, приводятся прямоугольные координаты для обеих зон. В отдельных случаях может возникнуть необходимость в координатах смежной зоны для пунктов, находящихся за пределами полосы перекрытия зон. В этих случаях производится преобразование прямоугольных координат пунктов из одной шестиградусной зоны в другую, смежную шестиградусную зону. Обычно выполняется с помощью специальных таблиц (Таблицы для перевычисления прямоугольных координат Гаусса-Крюгера из одной шестиградусной зоны в другую шестиградусную зону издания 1947 года). Таблицы для перевычисления прямоугольных координат Гаусса-Крюгера из одной шестиградусной зоны в смежную шестиградусную зону издания 1946 года ) и т. д. В вводных частях этих таблиц даются пояснения к пользованию ими и приводятся примеры перевычисления координат.

Для решения ряда практических задач, в частности военных, на топографических картах наносится сетка прямоугольных координат Гаусса, или координатная сетка. Она представляет собой сеть квадратов, образуемых линиями, параллельными осевому меридиану зоны, и линиями, перпендикулярными к нему. В каждой зоне координатная сетка наносится от экватора и осевого меридиана данной зоны. Наличие координатной сетки значительно облегчает определение координат точек по карте и нанесение точек на карту по координатам.

Применяемая для карт масштабов 1:10000 — 1:500 000 проекция Гаусса имеет ряд преимуществ по сравнению с применявшейся ранее у нас многогранной проекцией. Первым преимуществом этой проекции является ее связь на картах с координатной сеткой и прямоугольными координатами геодезических пунктов. Нанесению вершин углов трапеции и геодезических пунктов в проекции Гаусса предшествует построение координатной сетки. При применении многогранной проекции сначала строится трапеция, а затем уже от вершин ее углов наносится сетка прямоугольных координат Гаусса. Это снижает графическую точность нанесения геодезических пунктов.

Вторым преимуществом проекции Гаусса является теоретическая возможность склейки какого угодно большого количества листов карт в пределах шестиградусной зоны.

Наконец, третьим преимуществом проекции Гаусса является ее равноугольность. В сравнении с другими проекциями, применяемыми для топографических и обзорно-топографических карт, проекция Гаусса имеет то преимущество, что в ней искажения учитываются по довольно простым формулам.

Кроме Украины проекция Гаусса применяется для топогеодезических и картографических работ в странах (Финляндия, Англия, Турция и т. д.). Однако она не является единой и применяется, как правило, в трехградусных зонах.