Картографічні проекції топографічних і оглядово-топографічних карт

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (3 Голоса)

Одним з істотних вимог, пропонованих до математичної основи топографічних і оглядово-топографічних карт, є вимога збереження сталості масштабу в межах графічної точності на всій площі карти.

Для зазначених карт, що є, можна застосовувати окремо для кожного аркуша або групи аркушів будь-яку проекцію, тому що перекручування в межах зображення невеликої території будуть практично невідчутними.

До 1917 року для цих карт застосовувалися наступні проекції:

— рівнокутна конічна проекція Ламберта-Гаусса (карта масштабу 1: 420 000 — десятиверстка, і карти більш дрібних масштабів) ;

— рівновелика псевдоконічна проекція Бонна (карта масштабу 1: 126000 — трьохверстка);

— багатогранна проекція (карти масштабів 1:21000 — напівверстка, 1:42 000 — верстка і 1:84 000 — двоверстка).

Після 1917 року багатогранна проекція застосовувалася до 1928 року для карт масштабів 1:25000—1:200000. Карти масштабів 1:500000 і 1:1000000 спочатку складалися в багатогранній конічній проекції, розробленої геодезистом Щеткиним. З 1928 року всі карти масштабів 1:10000—1:500000 складаються в рівнокутній поперечно-циліндричній проекції Гаусса, а карта масштабу 1:1000000 з 1941 року складається у видозміненій поліконічній проекції, застосовуваної окремо для кожного аркуша.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Багатогранна проекція застосовувалася й у ряді інших країн. Наприклад, у Німеччині до останнього часу в цій проекції складалися карти масштабів 1:100000 1:200000 1: 300 000.

Рис.  1 Часть многогранника, середины граней которого касаются элипсоида

Багатогранна проекція

Представимо, що поверхня земного еліпсоїда розділена меридіанами і паралелями на невеликі трапеції. Уявімо далі багатогранник, грані якого стосуються трапецій у їхніх середніх точках А, В, С, D, E, F тощо (мал. 1) або проходять через вершини їхніх кутів. У першому випадку еліпсоїд буде укладений у багатогранник, а в другому випадку — багатогранник в еліпсоїд.

Якщо на плоскі грані першого або другого багатогранника тим або іншим шляхом спроектувати еліпсоїдальні трапеції, а потім поверхню багатогранника розгорнути в площину, то в результаті вийде зображення земної поверхні на площині в так названій багатогранній проекції. Однак таке визначення багатогранної проекції не є повним, тому що воно не показує, яким шляхом зображується поверхня еліпсоїда на гранях багатогранника, тому що кожна проекція характеризується саме способом зображення однієї поверхні на іншій.

Схему одержання зображення в багатогранній проекції можна представити й інакше, а саме як результат проектування кожної трапеції (цілого пояса) на поверхню дотичного або січного конуса з наступним розгортанням її в площину.

При незначних розмірах трапецій (цілих поясів) вони зобразяться в цьому випадку на площині практично без будь-яких відчутних перекручень. На багатограннику можна зобразити всю земну поверхню (усі трапеції, на які вона розділена), однак розгорнути багатогранник у площину без розривів між окремими його гранями (трапеціями) неможливо.

Кутові розриви при склейці двох поясів трапецій

Мал 2. Кутові розриви при склейці двох поясів трапецій

Теоретично можливо, з'єднати на площині колонку трапецій, що йдуть з півдня на північ, або пояс трапецій, що йдуть із заходу на схід, але не можна без розривів з'єднати два суміжних пояси або два суміжні стовпчики трапецій. На мал. 44 показані розриви, що виникли при склейці двох поясів трапецій, а на мал. 45 при склейці дев'яти трапецій. Величина кутового розриву , що виникає при з'єднанні чотирьох трапецій, що мають загальну вершину, визначається за формулою

(38)

Де і — відповідно різниці широт крайніх паралелей і довгот крайніх меридіанів трапеції, виражені в градусах,

— широта загальної вершини чотирьох трапецій,

— кутовий розрив, виражений у хвилинах.

З формули (38) видно, що величина кутового розриву залежить від розміру трапеції і широти . Неважко підрахувати, що при широті = 60о кутовий розрив для трапецій масштабу 1:100000, з розмірами сторін

= 20'= і = 30'= , = 0',09,

А для трапецій масштабу 1:1000000, з розмірами сторін = і = , = 12',4.

Кутові розриви при склейці дев'яти трапецій.

Мал. 3 Кутові розриви при склейці дев'яти трапецій.

Вид багатогранної проекції залежить від способу зображення трапецій на гранях багатогранника. Трапеції можуть зображуватися на площині за правилами тих або інших проекцій, наприклад азимутальних, конічних, циліндричних, поліконічних.

Трапеція на еліпсоїді і на площині

Мал 4 Трапеція на еліпсоїді і на площині

У результаті будуть виходити багатогранні азимутальні, конічні, циліндричні, поліконічні проекції, які прийнято називати їх власними назвами з додаванням слів «застосовувана як багатогранна», наприклад: «рівнокутна конічна проекція, застосовувана як багатогранна».

У більш вузькому змісті слова під багатогранною розуміють проекцію, яка застосовується тільки для топографічних карт, що будується за особливим законом.

Сутність цієї проекції полягає в тому, що трапеція, розташована на поверхні еліпсоїда, зображується плоскою рівнобічною трапецією, сторони якої відповідно дорівнюють сторонам трапеції на еліпсоїді. Так на мал. 46 сторони а0, b0 і с0 трапеції на еліпсоїді відповідно дорівнюють сторонам а, b і с плоскої трапеції.

Виходячи з цього, для зображення сторін трапеції на площині необхідно обчислити в масштабі карти довжини відповідних дуг меридіанів і паралелей, що утворять на еліпсоїді трапецію, за формулою

(39)

Де — масштаб карти,

Rю і rс — відповідно радіуси південної і північної паралелей трапеції

На земному еліпсоїді,

І — відповідно різниці довгот крайніх меридіанів і широт

Крайніх паралелей трапеції, виражених в радіанній мері,

Мm — радіус кривизни меридіана для широти середньої паралелі трапеції.

Для побудови трапеції на площині, крім розмірів її сторін, необхідно знати ще довжину її діагоналі d, що визначається за формулою

(40)

Звичайно розміри сторін і діагоналей трапецій при застосуванні багатогранної проекції вибиралися в готовому вигляді з таблиць. Хоча ця багатогранна проекція за характером перекручувань і відноситься до довільних, однак вона дає невідчутні перекручування кутів і площ у межах аркуша топографічної карти, у зв'язку з чим масштаб залишається практично постійним у всіх частинах карти.

Рівнокутна поперечно-циліндрична проекція Гауса, яка застосовувалась в даний час в Україні для карт масштабів 1 : 500 000 і крупніше. Рівнокутна поперечно-циліндрична проекція названа ім'ям знаменитого німецького математика Гаусса, що розробив у 1825 році загальну теорію рівнокутного зображення однієї поверхні на іншій.

Проекція Гаусса є проекцією еліпсоїда на площину

і її визначають наступні умови:

— рівнокутність зображення;

— зображення осьового (середнього) меридіана у вигляді прямої, стосовно якої всі меридіани і паралелі розташовуються симетрично;

— збереження довжини осьового меридіана.

Робочі формули рівнокутної проекції еліпсоїда без проміжного переходу на кулю дав Л. Крюгер у 1912 році, унаслідок чого цю проекцію в літературі також називають проекцією Гауса-Крюгера.

У поперечно-циліндричній проекції Гаусса на відміну від рівнокутної циліндричної проекції Меркатора проектування відбувається на поверхню циліндра, що торкається поверхні земного еліпсоїда (а не кулі) не по екватору, а по меридіану (мал. 5). Тому і масштаб зберігається не по екватору НОН1, а по меридіану торкання РОР1. При проектуванні циліндр береться з еліптичним поперечним перерізом.

Циліндр, що торкається земного еліпсоїда по меридіану

Мал.5. Циліндр, що торкається земного еліпсоїда по меридіану

Перекручування в проекції Гаусса наростають з віддаленням від осьового меридіана до заходу і сходу, а ізоколи мають вигляд прямих, паралельних меридіану торкання (осьовому меридіанові).

Взаємно - перпендикулярними прямими в проекції Гаусса зображуються не меридіани і паралелі, а дуги малих кіл ABC і DEP (альмукантарати) і дуги великих кіл HQ, НК, НО, HL, перпендикулярні до осьового меридіана (вертикалі). Якщо альмукантарати ABC, DEF проведені на еліпсоїді через однакові проміжки, а вертикалі поділяють осьовий меридіан на рівні відрізки LO=OK=KQ, то вони, за аналогією з проекцією Меркатора, утворять на карті координатну мережу прямокутників, як показано на мал. 6. Лініями абсцис тут є зображення альмукантаратів, а лініями ординат зображення вертикалів.

Також за аналогією з проекцією Меркатора з відомим допуском можна стверджувати, що масштаб у рівнокутній поперечно-циліндричній проекції Гаусса в будь-якій точці карти за будь-яким напрямком виражається формулою

Координатная сетка к проекции Гауссаφ'- центральний кут, що вимірює альмукантарат даної точки.

Рис. 6 Координатная сетка к проекции Гаусса

Кут , виражений у радіанній мері, дорівнює довжині стягуючої його дуги вертикала, діленої на радіус кулі (у даному випадку еліпсоїд можна дорівняти до кулі). Якщо стягуючу дугу кута позначити через у0, то

Де R — радіус земної кулі. Розклавши В ряд, одержимо

(41)

Ця формула, так само як і формула , показує, що в проекції Гаусса перекручування наростають з віддаленням від осьового меридіана, тобто зі збільшенням на карті ординати У.

Меридіани і паралелі, за деякими виключеннями, мають у проекції Гаусса вид складних кривих (мал. 49). Екватор, середній (осьовий) меридіан і меридіани, віддалені від середнього на 90° довготи, є прямими лініями.

Картографічна сітка в проекції Гаусса

Мал. 7. Картографічна сітка в проекції Гаусса

Проекція Гаусса при суцільному зображенні великих територій, витягнутих за довготою, дає великі перекручування (точки, віддалені по екватору від осьового меридіана на 90° довготи, ідуть у нескінченність). Тому з метою зменшення перекручувань вона застосовується по зонах, обмежених лініями меридіанів. Кожна зона зображується на площині окремо, причому за вісь X приймається зображення середнього (осьового) меридіана кожної зони, а за вісь У — зображення екватора. Довжина зон за довготою береться такою, щоб перекручування на їхніх краях можна було не брати до уваги.

При віддаленні до заходу або сходу від осьового меридіана на 3° відносне перекручувань довжин досягає на екваторі 1/750, а на широті 45° — 1/1500. Таке перекручування припустиме для карт масштабів 1:25 000 і дрібніше. Однак з віддаленням від осьового меридіана зони більше, ніж на 3° лінійні перекручування, починають швидко рости і стають неприпустимими. Виходячи з цього, у СНД довжину зон за довготою встановлена в 6°.

Нумерація шестиградусних зон у проекції Гаусса приведена в таблиці 5.

Таблиця 5

Нумерація шестиградусних зон у проекції Гаусса.

Номер зони

Довгота осьового меридіана від Гринвіча

Номер колони аркушів мільйонної карти

Номер зони

Довгота осьового меридіана від Гринвіча

Номер колони аркушів мільйонної карти

 

До сходу

До заходу

   

До сходу

До заходу

 

1

 

31

 

2

9

 

32

 

3

15

 

33

29

171°

 

59

4

21

 

34

30

177

 

60

5

27

 

35

31

 

177°

1

6

33

 

36

32

 

171

2

Примітка: При виконанні спеціальних зйомок у масштабах 1:25 000 і крупніше технічними інструкціями допускається застосування триградусних і навіть більше вузьких зон у залежності від масштабу зйомки і пропонованих до неї вимог.

Рис 8. Изображение зон в проекции Гаусса

 

Изображение зон в проекции Гаусса

Зображення зон на площині показане на мал. 8. Знаючи номер зони, можна визначити довготу її осьового (середнього) меридіана за формулою

L0 = 6N — 3,

Де П — номер зони,

L0— довгота осьового меридіана.

Навпаки, знаючи довготу осьового меридіана, легко визначити номер зони за формулою

Абсциси х у кожній зоні відраховуються від екватора до півночі зі знаком плюс, а до півдня - зі знаком мінус. Для всієї території України абсциси х позитивні, тому знак плюс перед ними не ставиться. Ординати у відраховуються від осьового меридіана кожної зони зі знаком плюс до сходу і зі знаком мінус до заходу. Щоб уникнути негативних значень ординат, їх умовно збільшують шляхом алгебраїчного додатка на 500000 м. Крім того, попереду отриманої суми ставлять номер зони, щоб знати, в якій зоні розташована дана точка. Наприклад, деяка точка знаходиться в зоні 7 і має ординату

У = — 243 435,15 м.

Відповідно до зазначеного правила перетворене умовне значення ординати буде

У = 7 256 564,85 м.

Таким чином, для обчислення умовної ординати будь-якої точки повинний бути відомий номер зони, у якій точка знаходиться.

Основні позначення на еліпсоїді і площині в проекції Гаусса

Мал. 9, 10 Основні позначення на еліпсоїді і площині в проекції Гаусса.

Номер зони можна визначити, знаючи довготу даної точки або номенклатуру аркуша будь-якої топографічної або оглядово-топографічної карти, на якому вона розташована.

Для проекції Гаусса прийняті наступні основні позначення (мал. 9 —на еліпсоїді і мал.10— на площині):

В — геодезична широта довільної точки М на еліпсоїді;

L — геодезична довгота від Гринвіча тієї ж точки на еліпсоїді;

L0 — довгота від Гринвіча осьового меридіана;

L = L — L0 — різниця довгот меридіана даної точки й осьового меридіана;

А — азимут геодезичної лінії на еліпсоїді;

Хв — довжина меридіана від екватора до паралелі із широтою даної точки;

Х і у — прямокутні координати Гаусса відповідній точці М1 на площині;

— гауссове зближення меридіанів;

— дирекційний кут хорди геодезичної лінії M1N1´ На площині;

 

Зв'язок між азимутом, дирекційним кутом і зближенням меридіанів у проекції Гаусса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— поправка за кривизну зображення геодезичної лінії M1N1´ (кривої) на площині;

N-радіус кривизни першого вертикала в точці з широтою В.

Прямокутними координатами Гаусса будь-якої точки земного еліпсоїда називаються плоскі прямокутні координати зображення відповідної точки на площині в проекції Гаусса.

Мал. 11. Зв'язок між азимутом, дирекційним кутом і зближенням меридіанів у проекції Гаусса.

Гауссовым зближенням меридіанів у даній точці називається кут, утворений на площині меридіаном, що проходить через дану точку, і лінією, паралельною осьовому меридіанові.

Геодезичною лінією між двома точками на еліпсоїді називається лінія найкоротшої відстані на поверхні еліпсоїда між цими точками. Геодезична лінія в проекції Гаусса зображується у вгляиді кривої, що утворює зі своєю хордою деякий кут 5, який названо поправкою за кривизну кривої. Кут 3 малий і враховується лише при обробці тріангуляції.

Дирекційним кутом будь-якого напрямку на площині називається кут між позитивним напрямком осі X і даним напрямком. Цей кут змінюється від 0 до 360° і відраховується від позитивного напрямку осі X за ходом годинникової стрілки. Зв'язок між азимутом, дирекційним кутом і гауссовим зближенням меридіанів довільної точки М1 на площині легко визначається з мал. 11.

Когда точка М1 расположена к востоку от осевого меридиана

Когда точка М1 расположена к западу от осевого меридиана

 

і

Нижче без висновку приводяться формули, що визначають проекцію Гаусса

(42)

(43)

У цих формулах

T = tg,

, де

L" — різниця довгот, виражена в секундах.

P"=206265".

Формули для обчислення гауссова зближення меридіанів і масштабу зображення m за геодезичними координатах даної точки мають вигляд

(44)

(45)

Дослідження формул (42) і (43) показують, що при обчисленні х и у в шестиградусних зонах для широт у межах території СРСР члени формул, що містять L"6, L"5 і L"4 не перевищують відповідно 0,005, 0,05 і 3,0 м. Отже, при обчисленнях х и у для картографічних цілей (складання карт масштабів 1:100000 і дрібніше) у правих частинах цих формул досить утримувати лише перші два члени.

Виходячи з цих же розумінь, гауссове зближення меридіанів можна обчислювати за наближеною формулою

А масштаб зображення в будь-якій точці карти за формулою

(4б)

Формула (46) виходить з формули (41), якщо в ній відкинути третій і наступний члени і замінити дугу у0 на кулі ординатою у на площині; у межах шестиградусної зони

трапеция и проекция гауссаЗначення Відрізняється від значення На досить незначну величину.

Звичайно прямокутні координати Гаусса обчислюють не за формулами (42) і (43), а за допомогою спеціальних таблиць. Таблиці для логарифмічного обчислення координат Гаусса-Крюгера видання 1946 року.

Рис. 12 трапеция и проекция гаусса

 

 

Таблиці координат Гаусса-Крюгера видання 47 року.

У вступних частинах цих таблиць дається докладний їхній опис, приводяться пояснення до користування таблицями і приклади обчислення координат.

На відміну від багатогранної проекції, що раніше застосовувалася в нас для топографічних карт, у проекції Гаусса внаслідок збільшення перекручувань в обидва напрямки від осьового меридіана трапеція топографічної або оглядово-топографічної карти, сторонами якої є відрізки меридіанів і паралелей, не являє собою геометрично правильної фігури. Увігнутість меридіанів у ній спрямована убік осьового меридіана (мал. 12). Однак відхилення меридіанів від прямої значно менше графічної точності, що потрібно при побудові трапецій карт масштабів 1:500 000 і крупніше. Тому бічні сторони трапецій цих карт у проекції Гаусса зображуються прямими лініями.

Відхилення паралелей від прямої починає практично відчуватися на трапеціях карт масштабів 1:100000 і дрібніше (з різницею довгот крайніх меридіанів у 30' і більше). Виходячи з цього, кожна паралель (північна або південна сторона) трапеції наноситься: для карти масштабу 1:100 000 за координатами трьох точок, для карти масштабу 1:200 000 за координатами п'яти точок і для карти масштабу 1:500 000 за координатами семи точок. Відповідно до цього для побудови трапецій карт масштабів 1:100000, 1:200 000 і 1:500 000 необхідно знати координати відповідно шести, десяти і чотирнадцяти точок. Трапеції карт масштабів 1:50 000 і крупніше будуються за координатами чотирьох точок (вершин кутів).

На мал. 13 показані схематичні зображення трапецій карт масштабів 1 : 10000—1:500000. Для трапецій карт масштабів 1:100000, 1:200000 і 1:500000 зазначені проміжні точки, за координатами яких наносяться паралелі, і приведені розміри трапецій у градусній мірі ( і - розміри трапеції відповідно за широтою і довготою).

Рис. 13. Схематические изображения трапеций с указанием промежуточных точек, по координатам которых наносятся параллели на картах в проекции Гаусса.

 

Схематические изображения трапеций

Прямокутні координати Гаусса вершин кутів трапецій і проміжних точок вибираються зі спеціальних таблиць (Таблиці координат Гаусса-Крюгера видання 1947 року). Побудова трапеції відбувається шляхом нанесення цих точок звичайним способом на координатографі або за допомогою штангенциркуля і масштабної лінійки. В останньому випадку спочатку будується квадрат або прямокутник, а потім від його сторін за координатами наносяться вершини кутів трапеції і проміжних точок, якщо останні необхідні.

Для зручності обробки геодезичних вимірів, виконаних на стику двох суміжних зон, установлено взаємне перекриття координатних зон за довготою. При цьому західна зона перекриває східну на 30', а східна перекриває західну на 7',5. Відповідно до цього в каталогах геодезичних пунктів для всіх пунктів, що знаходяться в смузі перекриття, приводяться прямокутні координати для обох зон. В окремих випадках може виникнути необхідність у координатах суміжної зони для пунктів, що знаходяться за межами смуги перекриття зон. У цих випадках виробляється перетворення прямокутних координат пунктів з однієї шестиградусної зони в іншу, суміжну шестиградусну зону. Зазвичай виконується за допомогою спеціальних таблиць (Таблиці для переобчислення прямокутних координат Гаусса-Крюгера з однієї шестиградусної зони в іншу шестиградусну зону видання 1947 року). Таблиці для переобчислення прямокутних координат Гаусса-Крюгера з однієї шестиградусної зони в суміжну шестиградусну зону видання 1946 року ) тощо. У вступних частинах цих таблиць даються пояснення до користування ними і наводяться приклади переобчислення координат.

Для рішення ряду практичних задач, зокрема військових, на топографічні карих наноситься сітка прямокутних координат Гаусса або координатна сітка. Вона являє собою мережу квадратів, утворених лініями, паралельними осьовому меридіанові зони, і лініями, перпендикулярними до нього. У кожній зоні координатна сітка наноситься від екватора й осьового меридіана даної зони. Наявність координатної сітки значно полегшує визначення координат точок за картою і нанесення точок на карту за координатами.

Застосовувана для карт масштабів 1:10000 — 1:500 000 проекція Гаусса має ряд переваг у порівнянні з багатогранною проекцією, що застосовувалася в нас раніше. Першою перевагою цієї проекції є її зв'язок на картах з координатною сіткою і прямокутними координатами геодезичних пунктів. Нанесенню вершин кутів трапеції і геодезичних пунктів у проекції Гаусса передує побудова координатної сітки. При застосуванні багатогранної проекції спочатку будується трапеція, а потім уже від вершин її кутів наноситься сітка прямокутних координат Гаусса. Це знижує графічну точність нанесення геодезичних пунктів.

Другою перевагою проекції Гаусса є теоретична можливість склейки будь-якої великої кількості аркушів карт у межах шестиградусної зони.

Нарешті, третьою перевагою проекції Гаусса є її рівнокутність. У порівнянні з іншими проекціями, що застосовувалась для топографічних і оглядово-топографічних карт, проекція Гаусса має ту перевагу, що в ній перекручування враховуються за досить простими формулами.

Крім України проекція Гаусса застосовується для топогеодезичних і картографічних робіт в інших країнах (Фінляндія, Англія, Туреччина тощо). Однак вона не є єдиною і застосовується, як правило, у триградусних зонах.

Проекція карти України масштабу 1:1 000000

Карта України масштабу 1:1 000000 складається і видається окремими аркушами в рамках, що мають форму трапецій з основами у вигляді дуг кіл. Верхніми і нижніми основами трапецій служать паралелі карти із широтами, кратними 4°. Кожен аркуш сягає широти на 4°. Бічними сторонами трапецій служать меридіани карти з довготами від Гринвіча, кратними

6° — південніше 60-й паралелі,

12° — між 60-й і 76-й паралелями,

24° — між 76-й і 88-й паралелями.

Кожен аркуш карти в цих поясах відповідно, сягає за довготою на 6, 12 і 24°. Аркуші, що мають розміри за довготою 12 і 24°, відповідно вважаються здвоєними і зчетвереними. Паралелі на всіх аркушах карти і меридіани на аркушах, південніше 60-й паралелі, проводяться через 1°. Меридіани на здвоєних аркушах проводяться через 2° і на зчетверених через 4°.

Для карти міжнародного масштабу 1:1000000 прийнята видозмінена поліконічна проекція, що застосовується як багатогранна, тобто окремо для кожного аркуша. Інакше ця проекція називається проекцією міжнародної мільйонної карти.

Проекція визначається наступними умовами:

— усі меридіани — прямі лінії;

— крайні паралелі — дуги кіл, що зберігають геодезичну кривизну, тобто описані радіусами

P = N ctg ,

Де N — радіус кривизни першого вертикала земного еліпсоїда для даної широти Р, узятий у масштабі карти; крайні паралелі перпендикулярні до середнього меридіана, тобто їхні центри лежать на середньому меридіані; Зазначена проекція прийнята для міжнародної мільйонної карти ідея про створення якої була висунута в 1891 році на V міжнародному географічному конгресі.

- довжини зберігаються уздовж крайніх паралелей і меридіанів з довготами ±2° від середнього меридіана для одинарних аркушів, ± 4° для здвоєних і ± 8° для зчетверених аркушів; - проміжні паралелі поділяють усі меридіани на рівні частини.

Сутність обчислення проекції зводиться до визначення даних для побудови крайніх паралелей аркуша карти. Ці паралелі будуються по прямокутних координатах ряду їхніх точок. За вісь X на аркуші карти (мал. 13) приймають пряму, що зображує середній меридіан, а за вісь К-пряму, перпендикулярну до цього меридіана в точці його перетинання з південною паралеллю. Нехай do1a і DOA — крайні паралелі аркуша. За умовою проекції, масштаб дорівнює одиниці за цими паралелями і за меридіанами СС і, вилученим від середнього на ± 2°. Тому що в поліконічних проекціях відрізки меридіанів між тими самими паралелями збільшуються з віддаленням від середнього меридіана, то масштаб за середнім меридіаном о1О буде менше одиниці, а за крайніми меридіанах dD і аА — більше одиниці. Довжина середнього меридіана о1О на карті буде менше довжини відповідного відрізка меридіана на глобусі на деяку величину k, що виражає скорочення середнього меридіана. Позначивши буквами

ХП — довжину дуги меридіана від екватора до північної паралелі, взяту в масштабі карти,

XS — довжину дуги меридіана від екватора до південної паралелі, взяту в масштабі карти,

H=оlO,

Будемо мати

H = Xn-Xs-k. (47)

У цій формулі значення ХП І XS можуть бути обрані з геодезичних або картографічних таблиць за аргументами широти . Поправочний член k (у міліметрах) визначається за виведеною проф. В. В.Каврайським наближеною формулою:

K = 0,271 cos2 M,

Де M — середня широта аркуша карти.

Оси прямоугольных координат на листе картыЗа цією формулою k виходить з точністю до 0,01 мм; для всіх аркушів карти СРСР масштабу 1:1000000 він не перевищує 0,19 мм.

Для визначення прямокутних координат точок перетинання північної паралелі із широтою N і південної паралелі із широтою S з меридіанами звернемося до мал. 57.

Рис. 14. Оси прямоугольных координат на листе карты масштаба 1:1000000.

 

Нехай довільна точка М, що лежить на північній паралелі, має географічні координати N , L, де L — різниця довгот даної точки і середнього меридіана.

Довжина о1М на карті дорівнює , або , а

Довжина відповідної дуги на глобусі— Гn l, або .

Тому що відрізок по паралелі на карті, за умовою проекції, дорівнює відповідному відрізкові по паралелі на глобусі, то,

= ,

Відкіля

(48)

З . маємо

Де (49)

Для визначення абсциси хn спочатку знайдемо відрізок

Х'n = про1А,

або

,

Але з формули (49)

Отже,

Або остаточно

(50)

Очевидно, що

(51)

Зазвичай також можна визначити прямокутні координати xs і ys будь-якої точки С, що лежить на південній паралелі, за її географічними координатами і L. Координати цієї точки визначаються за формулами

(52)

Де

(53)

Так як проміжні паралелі проводяться на карті через точки, одержувані розподілом кожного меридіана на чотири рівні частини, то прямокутні координати х и у кожної з цих точок, заданої географічними координатами і L, визначаться формулами:

(54)

(55)

Де Виражено в хвилинах, а координати Обчислюються за формулами (48), (49), (51), (52), (53).

Обчислення прямокутних координат довільних точок у цій проекції може мати місце в тому випадку, якщо необхідно нанести на карту геодезичні або астрономічні пункти за їх географічними координатами.

Прямокутні координати точок для побудови картографічної сітки звичайно даються в таблицях, доданих до рекомендацій по складанню карти масштабу 1:1 000000.

Проекція карти України масштабу 1:1000000 за характером перекручувань належить до довільних. При з'єднанні чотирьох аркушів карти, що мають загальну вершину, виникає кутовий розрив.

Кутовий розрив може бути обчислений за формулою (38), що для аркушів карти масштабу 1:1000000 приймає вигляд

(56)

Де - широта загальної вершини чотирьох аркушів,

-кутовий розрив, виражений у хвилинах.

Кутовому розривові відповідає найбільший лінійний розрив 3,25 мм

Cos , якщо він йде по меридіані, і найбільший лінійний розрив 4,87 мм cos2 , якщо він йде по паралелі.

При з'єднанні дев'яти аркушів (три ряди по три аркуші) виникає чотири розриви за меридіанами або паралелями. По малій кількості цих розривів практично можна склеювати як чотири аркуши, що мають загальну вершину кутів рамок, так і дев'ять аркушів (три ряди по три аркуші). В межах одного пояса або однієї колони припустиме склеювання будь-якого числа аркушів.

Для визначення масштабу за будь-яким меридіаном може бути застосована наближена формула:

M= 1 +0,0001523 (Lº2 - 4°) cos2 , (57)

Її обґрунтування дане в підручнику проф. М. Д. Соловйова «Картографічні проекції» (Геодезвидат, М., 1946) на стор. 335—336.

Дослідження формули показує, що зміна масштабу за меридіаном практично не відчувається. Так, при широті <pm, рівній 55°, для крайніх меридіанів (при L°= ± 3°)

M= 1,00025

Або

υm= 0,025%,

Що при довжині сторони в 40 см відповідає 0,1 мм. Для середнього меридіана (при ° = 0°)

M = 0,99980, або

υm = 0,0200, що при довжині сторони в 40 см складе 0,08 мм.

Довжини за проміжними паралелями спотворюються менше, ніж за крайніми меридіанами. Тому можна вважати, що у всіх частинах аркуша карти масштаб залишається практично постійним.

Побудова картографічної сітки для кожного аркуша карти виробляється за допомогою координатографа, а при його відсутності — за допомогою металевої масштабної лінійки і штангенциркуля; лінійка повинна мати таку довжину, щоб за її допомогою можна було виміряти діагональ аркуша.

У таблицях, доданих до рекомендацій по складанню карти масштабу 1:1000 000 дані прямокутні координати точок для побудови північної і південної паралелей всіх аркушів карти України. За початок координат для кожної крайньої паралелі аркуша узята точка її перетинання з середнім меридіаном. За вісь X прийнятий середній меридіан, а за вісь У-лінія, перпендикулярна до середнього меридіана на початку координат. Таким чином, кожен аркуш карти має два початки координат і дві осі Y (для північної і південної паралелей).

У таблицях приведені координати точок, розташованих на схід середнього меридіана. Відповідні їм точки, розташовані на захід середнього меридіана, будуть мати ті ж абсолютні значення координат, але ординати їхні будуть від’ємними.

 

построение картографической сеткиПри побудові картографічної сітки за допомогою координатографа для приведення координат точок північної і південної паралелей аркуша карти до одного початку й одержання позитивного значення всіх ординат необхідно до абсцис точок північної паралелі додати значення Оо1=Н (мал. 14), що дається в таблиці, а всі ординати збільшити на величину, дещо більшу значення ординати південно-східної вершини кута рамки аркуша.

При побудові картографічної сітки за допомогою лінійки і штангенциркуля немає потреби в приведенні координат точок паралелей до одного початку. Нанесення сітки в останньому випадку починається з побудови прямокутника, бічна сторона якого дорівнює довжині середнього меридіана Оо1 (мал. 15), а верхня і нижня сторони дорівнюють подвоєному значенню ординати уs вершини одного з кутів при південній стороні рамки аркуша карти. Потім верхню і нижню сторони прямокутника поділяють навпіл і, з'єднавши точки розподілу прямою лінією, одержують середній меридіан карти. Далі наносять точки з координатами х1, у1;х2, у2, тощо, приймаючи за вісь Y для північної сторони рамки верхню, а для південної – нижню.

Мал. 15. Побудова картографічної сторони прямокутника сітки аркуша карти масштабу 1:1000000.

Після того, як крайні паралелі і середній меридіан нанесені, по лінійці через відповідні точки крайніх паралелей проводяться інші меридіани. Проміжні паралелі проводяться через точки, отримані розподілом кожного меридіана на чотири рівні частини.

Контролем правильності побудови картографічної сітки служать:

— рівність діагоналей рамки аркуша і відповідність їхніх довжин табличним даним;

— рівність відрізків однієї і тієї ж паралелі між меридіанами;

— рівність відрізків того самого меридіана, що знаходяться між паралелями;

— відповідність сторін рамки аркуша карти розмірам, зазначеним у таблиці, доданої до рекомендацій по складанню карти масштабу 1:1000000; у цій таблиці дані розміри хорд, що стягають дуги північної і південної паралелей, довжини крайніх меридіанів і діагоналей рамок аркушів за кожним поясом.

Після перевірки сітки крайні паралелі і меридіани поділяються на відрізки через 5'.

 


Картографічні проекції топографічних і оглядово-топографічних карт - 5.0 out of 5 based on 3 votes