Класифікація картографічних проекцій

Картографічні проекції. Класифікація

Картографічні проекції можна класифікувати за двома основними ознаками:

— за характером перекручування;

— за видом меридіанів і паралелей нормальної картографічної сітки.

Картографічна сітка називається нормальною в тому випадку, якщо меридіани і паралелі на карті в даній проекції зображуються більш простими лініями, ніж координатні лінії будь-якої іншої системи сферичних координат.

За характером перекручувань проекції поділяються на рівнокутні (конформні), рівновеликі (еквівалентні), рівно проміжні й довільні.

Рівнокутні проекції

Рівнокутними (конформними) називаються такі проекції, у яких нескінченно малі фігури на карті подібні відповідним фігурам на глобусі. У цих проекціях нескінченно мале коло, взяте на глобусі в будь-якій його точці, при перенесенні на карту зобразиться також нескінченно малим колом, тобто еліпс перекручувань у рівнокутних проекціях перетворюється в коло. У рівнокутних проекціях у нескінченно малих фігурах на карті і на глобусі відповідні кути рівні між собою, а сторони пропорційні. Наприклад, на мал. 15а, б А0М0ДО0= АМК, a . Масштаби за меридіаном і паралеллю рівні між собою, тобто Т=п. Кут між меридіанами і паралелями на карті = 90°, а загальні формули з теорії перекручувань мають вигляд

= т = п = а = b, Р = т2, = 0.

Рівність масштабів показує, що масштаб у будь-якій точці карти в рівнокутних проекціях від напрямку не залежить. Але при переході від точки до точки (при зміні координат точки) масштаб змінюється.

Мал. 1. Нескінченно мале коло на глобусі і на карті в рівнокутній проекції

Це означає, що однакові за своїми розмірами нескінченно малі кола, узяті в різних точках глобуса, зобразяться на карті також нескінченно малими колами, але різних розмірів (у даному випадку під нескінченно малим колом на глобусі можна розуміти коло з діаметром близько 1 см).

Рівновеликі проекції

Рівновеликими (еквівалентними) називаються такі проекції, у яких масштаб площі у всіх точках карти дорівнює одиниці. У цих проекціях нескінченно мале коло (мал. 2 а), узяте на глобусі, відобразиться на карті рівним за площиною нескінченно малим еліпсом (мал. 2 б).

Мал. 2. Коло на глобусі й еліпс на карті в рівновеликій проекції

Тому що площа еліпса

,

а площа за формулою

.

То для цих проекцій буде справедлива рівність

Або

При =1, властивість рівновеликості проекцій аналітично виражається рівністю

P = ab = l.

Отже, у рівновеликих проекціях добуток масштабів за головними напрямками дорівнює одиниці.

Якщо рівнокутні проекції зберігають рівність кутів тільки в нескінченно малих фігурах, то рівновеликі проекції зберігають площі будь-яких фігур незалежно від їхніх розмірів на карті. У цих проекціях кути між меридіанами і паралелями на карті можуть бути не рівні 90°. Варто пам'ятати, що властивості рівнокутності і рівновеликості в одній проекції несумісні, тобто не може бути таких проекцій, що одночасно зберігали б рівність кутів і рівність площ у всіх точках карти.

Рівнопроміжними називаються такі проекції, у яких у кожній точці карти зберігаються довжини за одним з головних напрямків. У цих проекціях а = або b = . При =1 аналітично властивість рівнопроміжності виражається рівністю

А=1 Або b=1.

Іноді під рівнопроміжними розуміють і такі проекції, у яких відношення або залишається постійним, хоча і не рівним одиниці.

У рівнопроміжних проекціях коло, узяте у будь-якій точці глобуса (мал. 17 а), відобразиться на карті еліпсом (мал. 3 б або 3 в), одна з півосей якого буде дорівнює радіусу цього кола.

За характером перекручувань ці проекції займають середнє місце між рівнокутними і рівновеликими проекціями. Не зберігаючи ні кутів, ні площ, вони менше, ніж рівновеликі проекції, спотворюють кути і менше, ніж рівнокутні проекції, спотворюють площі і тому застосовуються в тих випадках, коли немає потреби за рахунок збільшення перекручування площ зберегти рівність кутів або, навпаки, за рахунок збільшення перекручування кутів зберегти рівність площ.

Довільними називаються такі проекції, що не мають властивості рівнокутності, рівновеликості або рівнопроміжності. Клас довільних проекцій є найбільш великим, сюди можуть бути включені проекції, що різко відрізняються одна від одної за характером перекручувань.

Довільні проекції застосовуються в основному для карт дрібного масштабу, зокрема для карт півкуль і світових, і в окремих випадках для карт великого масштабу.

Мал. 3. Коло на глобусі й еліпси на карті в равнопроміжній проекції

За видом меридіанів і паралелей нормальної картографічної сітки проекції підрозділяються на конічні, циліндричні, азимутальні, псевдоконічні, псевдоциліндричні, поліконічні та інші. Причому в межах кожного з цих класів можуть бути різні за характером перекручувань проекції (рівнокутні, рівновеликі тощо).

Конічні проекції

Конічними називаються такі проекції, у яких паралелі нормальної сітки зображуються дугами концентричних кіл, а меридіани — їхніми радіусами, кути між якими на карті пропорційні відповідній різниці довгот у натурі.

Геометрично картографічну сітку в цих проекціях можна одержати шляхом проектування меридіанів і паралелей на бічну поверхню конуса з наступним розгортанням цієї поверхні в площину.

Уявімо собі конус, дотичний глобуса по деякій паралелі А0В0С0 (мал. 4). Продовжимо площини географічних меридіанів і паралелей глобуса до перетинання їх з поверхнею конуса. Лінії перетинання зазначених площин з поверхнею конуса приймемо відповідно за зображення меридіанів і паралелей глобуса. Розріжемо поверхню конуса по утворюючій і розгорнемо її в площину; тоді одержимо на площині картографічну сітку в одній з конічних проекцій (мал. 5).

Паралелі з глобуса на поверхню конуса можна перенести й іншими способами, а саме: шляхом проектування променями, що виходять з центра глобуса або з деякої точки, що знаходиться на осі конуса, шляхом відкладання на меридіанах проекції в обидва боки від паралелі торкання вирівняних дуг меридіанів глобуса, обмежених між паралелями, і наступного проведення через точки відкладення концентричних кіл із точки S (мал. 5), як з центра. В останньому випадку паралелі на площині будуть розташовані на такій же відстані одна від одної, як і на глобусі.

При зазначених вище способах перенесення географічної сітки з глобуса на поверхню конуса паралелі на площині будуть

Мал.4 Конус, що стосується         мал.5 Відкладення концентричних кіл. глобуса по паралелі.

Картографічна сітка в конічній проекції може зображуватися дугами концентричних кіл, а меридіани будуть являти собою прямі, що виходять з однієї точки і складають між собою кути, пропорційні відповідної різниці довгот.

Остання залежність може бути виражена рівнянням

(13)

Де кут між сусідніми меридіанами на карті називають кутом сходження або зближення меридіанів на площині,

— різниця довгот тих же меридіанів,

— коефіцієнт пропорційності називають показником конічної проекції. У конічних проекціях завжди менше одиниці.

Радіуси паралелей на карті залежать від широти цих паралелей, тобто

(14)

Таким чином, картографічну сітку можна відразу побудувати на площині, минаючи проектування на допоміжну поверхню конуса, якщо відомий показник і залежність між і .

Рис. 6 Конус, секущий глобус по паралелям

При виборі конічних проекцій для зображення даної території необхідно знайти таке значення А і таку залежність Р від Ср, щоб отримати необхідну за характером перекручувань проекцію (рівнокутну, рівновелику, рівнопроміжну або довільну) з можливо меншими перекручуванням

и в цілому.

Розглянуті вище конічні проекції були проекціями на дотичному конусі. Таким же геометричним шляхом можна представити і проекції на січному конусі.

На мал. 6 показаний конус, що січе глобус по паралелях ADB і СЕР. Очевидно, що в першому випадку (мал. 4) на паралелі торкання A0В0C0, а в другому випадку (мал. 6) на паралелях перетину ADB і СЕР масштаб на карті буде дорівнювати головному масштабові (масштабові глобуса).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7 Положение конусов (касательного и секущего)при различных конических проекциях: а)нормальных, б)поперечных, в)косых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Конус стосовно глобуса може бути розташований по-різному. Вісь конуса може збігатися з полярною віссю глобуса РР, складати з нею кут у 90° і, нарешті, перетинати її під довільним кутом. У першому випадку конічні проекції називаються нормальними (прямими) , у другому — поперечними й у третьому — косими. На мал. 7 показану положення конусів при нормальній (а), поперечній (б) і косій (в) конічних проекціях. Кожна з них у свою чергу може бути на дотичному або січному конусі.

Очевидно, що в поперечній і косій конічних проекціях при будь-яких способах проектування з глобуса на поверхню конуса меридіани і паралелі зобразяться у вигляді складних кривих ліній. Прямими лініями, що сходяться, і концентричними колами на поверхні конуса в цих випадках відповідно зобразяться дуги великих кіл, що проходять через точки перетинання осі конуса з поверхнею глобуса, і перпендикулярні їм дуги малих кіл. Зазначені дуги великих кіл на сфері називаються вертикалами, а дуги малих кіл — альмукантаратами.

Картографічна сітка має найбільш простий вид у нормальних конічних проекціях, у яких вона зветься нормальною, або прямою сіткою. У поперечних проекціях картографічна сітка називається поперечною, а в косих проекціях — косою.

В усіх нормальних конічних проекціях, за винятком рівнокутних, полюс зображується дугою. У рівнокутних конічних проекціях полюс зображується точкою.

Вид картографічної сітки в нормальних конічних проекціях для зображення північної півкулі показаний на мал. 8 (рівнопроміжна конічна проекція).

У нормальних конічних проекціях лініями нульових перекручувань є паралелі перетину або паралель торкання, а ізокола збігаються з паралелями. Перекручування наростають в обидва боки в міру віддалення від цих паралелей, причому масштаб за паралелями на карті між паралелями перетину завжди менше одиниці, на паралелі торкання і на паралелях перетину дорівнює одиниці, а в інших місцях більше одиниці і зростає в міру віддалення від цих паралелей до полюсів. Аналітично конічні проекції на дотичному конусі характеризуються вираженням

А на січному конусі — вираженням

Де — мінімальний масштаб за паралеллю.

Конічні проекції знайшли широке застосування для зображення територій, витягнутих вузькою або широкою смугою уздовж паралелей. У першому випадку вигідніше застосовувати конічні проекції на дотичному конусі, у другому — на січному конусі. Зокрема для карт України широко використовуються конічні проекції на січному конусі.

Поперечні і косі конічні проекції вигідно застосовувати відповідно до карт країн, витягнутих уздовж дуг малих кіл, рівнобіжних осьовому меридіанові, і дуг малих кіл довільного напрямку, але ці проекції через складність їхнього обчислення практичного застосування не знайшли.

Циліндричні проекції

Циліндричними називаються такі проекції, у яких паралелі нормальної сітки зображуються рівнобіжними прямими, а меридіани — рівновіддаленими прямими, перпендикулярними до ліній паралелей.

Геометрично картографічну сітку в цих проекціях можна отримати шляхом проектування меридіанів і паралелей глобуса на бічну поверхню циліндра з наступним розгортанням цієї поверхні в площину.

Мал. 8. Картографічна сітка в рівнопроміжна конічної проекції.

Уявімо собі циліндр, дотичний глобуса по екваторі (мал. 9) Продовжимо площини географічних меридіанів і паралелей до перетинання з бічною поверхнею циліндра. Приймемо відповідно за зображення меридіанів і паралелей на поверхні циліндра лінії перетинання зазначених площин з поверхнею циліндра. Розріжемо поверхню циліндра по утворюючій і розгорнемо її в площину. Тоді на цій площині вийде картографічна сітка в одній з циліндричних проекцій як і в конічних проекціях, паралелі нормальної картографічної сітки можна перенести на поверхню циліндра й іншими способами, а саме: шляхом проектування променями, що виходять з центра глобуса або з деякої точки, що знаходиться на осі циліндра шляхом відкладання на меридіанах проекції по обидва боки від екватора вирівняних дуг меридіанів глобуса, обмежених паралелями, і наступного проведення через точки відкладання прямих, паралельних екватору. В останньому випадку паралелі на карті будуть розташовані на однаковій відстані одна від одної.

Розглянута циліндрична проекція (мал. 9) є проекцією на дотичному циліндрі. У такий же спосіб можна побудувати і проекцію на січному циліндрі.

На мал 10 показаний циліндр, що січе глобус за паралелями AFB і CKD. Очевидно, що в першому випадку на екваторі (мал. 9), а в другому випадку на паралелях перетину AFB і CKD (мал. 10) масштаб на карті буде дорівнювати головному, тобто екваторові.

Мал. 9. Циліндр, дотичний глобуса по екваторі, і частина поверхні циліндра, розгорнута в площину і зазначені паралелі перетину будуть зберігати свою довжину на карті. Циліндр стосовно глобуса може бути розташований по-різному.

Мал. 10. Циліндр, що січе глобус за паралелями

У залежності від положення осі циліндра щодо осі глобуса циліндричні проекції, подібно конічним, можуть бути нормальними, поперечними і косими. Відповідно з цим і картографічна сітка в цих проекціях буде мати назву нормальної, поперечної і косої. Поперечні і косі картографічні сітки в циліндричних проекціях мають вигляд складних кривих ліній.

Як і у випадку з конічними проекціями, для побудови нормальних сіток циліндричних проекцій немає потреби проектувати поверхня глобуса спочатку на циліндр, а потім останній розгортати в площину. Для цього досить знать прямокутні координати Х и У точок перетинання паралелей і меридіанів на площині. Причому в циліндричних проекціях абсциси х виражають собою віддалення паралелей від екватора, а ординати у-віддалення меридіанів від середнього (осьового) меридіана.

Виходячи з цього, загальні рівняння всіх нормальних циліндричних проекцій можна представити у вигляді:

(15)

Де С — постійний множник, що представляє собою радіус екватора (для проекцій на дотичному циліндрі) або радіус паралелі перетину глобуса (для проекцій на січному циліндрі),

і — широта і довгота даної точки, виражені в радіанній мері,

Х, у — прямокутні координати тієї ж точки на карті. У залежності від вибору функції Циліндричні проекції можуть бути за характером перекручувань рівнокутними, рівновеликими, рівнопроміжні або довільними. Залежністю же Х від середнього визначаються і відстані між паралелями на карті. Відстані між меридіанами залежать від множника С. Таким чином, вибираючи ту чи іншу залежність Х від і те чи інше значення С, можна одержати необхідну проекцію як за характером перекручувань, так і за розподілом їх щодо екватора або середньої паралелі карти (паралелі перетину).

Мал 11 Картографічна сітка в квадратній циліндричній проекції.

Вид картографічної сітки в нормальних циліндричних проекціях для зображення всієї земної поверхні показаний на мал. 11 (квадратна циліндрична проекція).

У циліндричних проекціях так само, як і в конічних, лініями нульових перекручувань у нормальних картографічних сітках є паралелі перетину або паралель торкання, а ізоколи збігаються з паралелями. Перекручування наростають у міру видалення від паралелі торкання (паралелей перетину) в обидва боки.

Нормальні циліндричні проекції застосовуються в основному для зображення територій, витягнутих уздовж екватора, і порівняно рідко для зображення територій, витягнутих по довільній паралелі, тому що в останньому випадку вони дають великі перекручування, ніж конічні проекції.

У поперечній і косій циліндричній проекціях лінією нульових перекручувань є дуга великого кола, по якій циліндр дотикається кулі або еліпсоїда. Ізоколи зображуються прямими, рівнобіжними лінії нульових перекручувань, а перекручування наростають в обидва боки від лінії нульових перекручувань.

Поперечні циліндричні проекції застосовуються для зображення територій, витягнутих уздовж меридіана, а косі — для зображення територій, витягнутих у довільному напрямку по дузі великого кола.

Азимутальні проекції

Азимутальними (зенітальними) називаються такі проекції, у яких паралелі нормальної сітки зображуються концентричними колами, а меридіани — їхніми радіусами, кути між якими рівні відповідним різницям довгот у натурі. Геометрично картографічну сітку в цих проекціях можна отримати в такий спосіб. Якщо через вісь глобуса і меридіани провести площини до їхнього перетинання з площиною, дотичною до глобуса в одному з полюсів, то на останній утворяться меридіани в азимутальній проекції. При цьому кути між меридіанами на площині будуть рівні відповідним двогранним кутам на глобусі, тобто різницям довгот меридіанів. Для одержання паралелей в азимутальній проекції з точки перетинання меридіанів проекції, як з центра, варто провести концентричні кола радіусами, рівними, наприклад, вирівняним дугам меридіанів від полюса до відповідних паралелей. При таких радіусах паралелей вийде рівнопроміжна азимутальна проекція (Мал 12)

Площина може не тільки дотикатися, але і сікти поверхню глобуса по деякому малому колу, від цього сутність азимутальної проекції не міняється. Так само, як і в конічних проекціях, у залежності від розташування площини щодо полярної осі глобуса картографічна сітка в азимутальних проекціях може бути нормальною (прямою), поперечною і косою. При нормальній картографічній сітці площина дотикається глобуса в одному з полюсів, при поперечній — у точці, що лежить на екваторі, і при косій — у деякій довільній точці із широтою більше 0° і менше 90°. Нормальні азимутальні проекції називаються також полярними, поперечні — екваторіальними і косі — горизонтальними азимутальними проекціями.

Рис.12 Картографическая сетка к равнопромежуточной азимутальной проекции

Виходячи з визначення нормальних азимутальних проекцій, їхні загальні рівняння можна виразити так

(16)

У залежності від характеру зв'язку між радіусом паралелі на карті і її широті азимутальні проекції за характером перекручувань можуть бути рівнокутними, рівновеликими, рівнопроміжними і довільними.

Мал 13 Картографічна сітка і ізоколи кутів у косій азимутальній проекції.

В азимутальних проекціях на дотичній площині точка торкання кулі або еліпсоїда є точкою нульових перекручувань, а в проекціях на січній площині окружність перетину служить лінією нульових перекручувань В обох випадках ізоколи мають вигляд концентричних кіл, що збігаються з паралелями нормальної сітки. Перекручування наростають у міру віддалення від точки нульових перекручувань (від лінії нульових перекручувань).

Нормальні, поперечні і косі азимутальні проекції знайшли широке застосування для зображення територій, що мають округлу форму. Зокрема, для зображення північної і південної півкуль уживаються тільки нормальні, а західної і східної півкуль — тільки поперечні азимутальні проекції. Косі азимутальні проекції застосовуються для карт окремих материків. Вид картографічної сітки та ізокол кутів в одній із косих азимутальних проекцій показаний на мал. 13. Частковим випадком азимутальних проекцій є проекції перспективні.

Перспективними називаються такі проекції, у яких паралелі і меридіани з кулі або еліпсоїда переносяться на площину за законами лінійної перспективи, тобто за допомогою прямих променів, що виходять з так названої точки зору. При цьому приймається обов'язкова умова, щоб точка зору знаходилася на головному промені, тобто на лінії, що проходить через центр кулі або еліпсоїда, а площина проекції (картинна площина) була перпендикулярна до цього променя.

Точка зору і картинна площина можуть займати різне положення щодо центра кулі або еліпсоїда. За видом меридіанів і паралелей нормальної сітки ці проекції нічим не відрізняються від азимутальних проекцій.

Мал 14. Картографічна сітка в псевдоконічній проекції

Псевдоконічні проекції

Псевдоконічними називаються такі проекції, у яких паралелі нормальної сітки зображуються дугами концентричних кіл, а меридіани — кривими лініями, симетричними щодо середнього меридіана, що зображується прямою, перпендикулярною до паралелей. Ці проекції відрізняються, від конічних видом меридіанів. Вид картографічної сітки псевдоконічної проекції показаний на мал. 14.

У псевдоконічних проекціях лініями нульових перекручувань є середній меридіан і середня паралель. Перекручування в них наростають у міру віддалення від цих ліній. Вид ізокол кутів у цих проекціях показаний на мал. 15.

Псевдоконічні проекції застосовуються при зображенні територій, що мають форму ромба з увігнутими сторонами.

Мал 15. Ізоколи кутів у псевдоконічній проекції.

Псевдоциліндричні проекції

Псевдоциліндричними називаються такі проекції, у яких паралелі нормальної сітки зображуються рівнобіжними прямими, а меридіани — кривими лініями, симетричними щодо середнього меридіана, що зображується прямою, перпендикулярною до паралелей. Ці проекції відрізняються від циліндричних видом меридіанів. У псевдоциліндричних проекціях ізоколи мають вигляд складних кривих ліній, симетричних щодо екватора і середнього меридіана, причому закон наростання перекручувань може бути різним.

На мал. 16 показаний вид картографічної сітки і ізокол кутів в одній з рівновеликих псевдоциліндричних проекцій (проекції Мольвейде), у якій кути не спотворюються тільки в точках перетинання середнього меридіана з паралелями 40°44' північної і південної широти.

При зображенні всієї земної кулі ці проекції дають менші перекручування, ниж циліндричні.

Поліконічні проекції

Поліконічними називаються такі проекції, у яких паралелі нормальної сітки зображуються різноцентровими колами, а меридіани — кривими лініями, симетричними щодо середнього меридіана, що зображується прямою, перпендикулярною до паралелей.

Поліконічні проекції можна розглядати, як проекції глобуса не на один дотичний по паралелі конус, а на безліч дотичних конусів, що обумовлює рівність масштабів по всіх паралелях.

Мал 16 Картографічна сітка і ізоколи кутів у псевдоциліндричній проекції

У цих проекціях масштаб за всіма паралелями і на середньому меридіані дорівнює одиниці. Перекручування зростають з віддаленням від середнього меридіана, і ізоколи мають вигляд ліній, приблизно паралельних середньому меридіанові. Тому ці проекції більш вигідно застосовувати для зображення територій, більш витягнутих уздовж меридіанів хоча б від одного полюса до іншого.

Мал 17 Картографічна сітка в поліконічній проекції

Вид картографічної сітки в поліконічній проекції показаний на мал. 17.

Частковим випадком поліконічних проекцій є кругові проекції. Круговими називаються такі проекції, у яких середній меридіан і екватор нормальної сітки зображуються прямими перпендикулярними лініями, а інші меридіани і паралелі - дугами різноцентрових кіл, причому середній меридіан є віссю симетрії для інших меридіанів, а екватор — віссю симетрії для паралелей.

До інших відносяться такі проекції, що не можуть бути віднесені до жодного з розглянутих вище класів проекцій за видом меридіанів і паралелей нормальної сітки. Меридіани і паралелі в них зображуються досить різноманітно. Ізоколи в цих проекціях звичайно мають вигляд складних кривих ліній, симетрично розташованих щодо екватора і середнього меридіана.

Мал. 18. Картографічна сітка в проекції Аитова-Гаммера.

Ці проекції знайшли широке застосування для світових карт. Вид картографічної сітки однією з цих проекцій (проекція Аитова-Гаммера) показаний на мал. 18.

Коротка історична довідка про виникнення і розвиток картографічних проекцій

Картографічні проекції виникли ще в VI-Vll століттях до н. е. Перші проекції (перспективні) ґрунтувалися на геометричних способах побудови і застосовувалися для складання карт зоряного неба, що здавалося нам кулястим. Винахідниками перспективних проекцій були давньогрецькі учені Фалес, Аполлоній і Гіппарх.

Першу карту відомої в стародавності частини земної поверхні склав Анаксимандр (близько 610—546 років до н. е.). Проекція цієї карти нагадувала прямокутну циліндричну проекцію. Конічні проекції вперше були застосовані Птолемеєм (90—168 роки н. э), що склав велику кількість географічних карт. Йому ж приписують винахід і псевдоконічної проекції.

Середні століття не ознаменувалися успіхами в картографії. Могутній поштовх розвиткові географії і картографії дала лише епоха великих географічних відкриттів. Починаючи з другої половини XV століття, з'являється безліч нових карт. Для зображення півкуль почали застосовуватися азимутальні проекції. Відомий голландський картограф Меркатор (1512—1594 роки) запропонував рівнокутну циліндричну проекцію, що незабаром одержала широке поширення при складанні морських карт, а французький географ Сансон (1600— 1667 роки) — рівновелику псевдоциліндричну проекцію для світових карт.

Подальшою розробкою теорії картографічних проекцій у закордонних країнах займалися Ламберт (1728—1777 роки), Лагранж (1736—1813 роки), Мольвейде (1774—1825 роки), Гаусс (1777—1855 роки), Тиссо (1824—1897 роки) і інші вчені, іменами яких названі винайдені ними проекції.

До числа російських дореволюційних, що додали свій внесок у розвиток математичної картографії, можна віднести: Л. Эйлера (1707—1783), А. П. Болотова (1803—1853), П. Л. Чебишева (1821—1894), Д. А. Граве (1863—1939), Н. Я. Цингера (1842—1918), В. В. Витковського (1856—1924), Ф. Н. Красовського (1878—1948), В. В. Каврайського (1884— 1954), Н. А. Урмаева, М. Д. Соловйова та інш.

Л. Эйлер уперше науково обґрунтував вибір паралелей перетину в конічних проекціях за умови рівних перекручувань на крайніх паралелях країни.

A. П.Болотов указав нові способи вибору постійних величин для рівнокутної конічної проекції. Завдяки його дослідженням ця проекція із середини XIX століття знайшла у нас широке застосування. П. Л. Чебишев і Д А Граве довели, що найбільш вигідною з рівнокутних проекцій для зображення даної країни буде та, ізокола якої збігається з контуром даної країни. Н. Я.Цингер уперше запропонував конічні проекції, що дають найменше середнє квадратичне перекручування довжин для зображення країни, обмеженої довільним контуром, і вивів формули для обчислення цих проекцій.

B. В.Витковський дав суворе математичне обґрунтування існуючим в той час картографічним проекціям і розробив дві нові конічні проекції - рівнопроміжну і рівновелику з більш рівномірним розподілом перекручувань у порівнянні з іншими конічними проекціями.

Період розвитку математичної картографії характеризується розробкою ряду нових, більш досконалих проекцій для карт України, частин земної кулі і карт світу. Професор Ф. Н. Красовський запропонував рівнопроміжну конічну проекцію, що, даючи найменші перекручування за паралелями, у той же час зберігає площю пояса між заданими паралелями. Проф. В. В.Каврайським розроблена рівнопроміжна конічна проекція для карт, дана загальна теорія псевдоконічних і теоретичне обґрунтування рівновеликих псевдоциліндричних проекцій, запропонована нова рівновелика синусоїдальна псевдоциліндрична проекція, що за своєю значимістю значно перевершує проекцію, Эккерта, яку раніше використовували. У своїх дослідженнях В. У.Каврайський розробив також рівнокутну проекцію для карт світу, що відображає всю поверхню Землі усередині овальної фігури, і проекції для маршрутних польотних карт. Професор Н. А.Урмаєв запропонував ряд циліндричних і псевдоциліндричних проекцій для карт світу, а також ряд проекцій для маршрутних польотних карт. Ним же розроблені нові методи вишукування проекцій. Якщо раніш проекції виходили за допомогою рівнянь картографічних проекцій, то за методом Н. А.Урмаєва проекції утворюються, виходячи з заданих величин перекручувань і їх найбільш доцільного і бажаного розподілу на карті. Професором М. Д.Соловйовим розроблена коса перспективна-циліндрична проекція, що найкраще задовольняє вимогам, пропонованим до шкільних карт України.