Картографічні проекції оглядових карт

Для оглядових карт, територія яких витягнута по довготі порівняно широкою смугою, кращими є конічні проекції на січному конусі. У цих проекціях, як відомо, зберігається масштаб за паралелями перетину, а найбільші перекручування мають місце на крайніх, північній і південній, паралелях тобто в районах порівняно менш обжитих.

Мал. 1. Два меридіани і дві паралелі на глобусі і на карті в конічній проекції

Для судження про перекручування в цих проекціях, визначимо масштаби за головними напрямках. Тому що меридіани і паралелі нормальної сітки в конічних проекціях перетинаються під прямими кутами, то вони є головними напрямками в будь-якій точці карти. Для визначення масштабів за меридіанами і паралелями необхідно узяти відношення нескінченно малих відрізків меридіана і паралелі на карті до відповідних відрізків на глобусі за умови, що = 1.

Нехай І (мал. 1 а) меридіани на глобусі з нескінченно малою різницею довгот , a Ssk І Sgl (мал. 1 6) - відповідні меридіани на карті в конічній проекції, кут між якими також нескінченно малий; і — паралелі на глобусі з нескінченно малою різницею широт , a Sg і Kl — відповідні їм паралелі на карті в тій же проекції.

Уведемо позначення:

R - радіус паралелі на глобусі (земній кулі);

R - радіус глобуса (земної кулі);

- широта паралелі на глобусі (земній кулі);

— радіус тієї ж паралелі на карті;

Ds - нескінченно малий відрізок по меридіану на глобусі;

d — відповідний йому нескінченно малий відрізок на карті.

Тоді будемо мати

або (17)

Ds Ray

Знак мінус показує, що зі збільшенням широти Радіус паралелі На карті зменшується.

Тому що у всіх конічних проекціях

,

Те і

Отже,

,

Або

Але радіус паралелі на глобусі залежить від широти І може бути визначений за формулою

,

Тоді

(18)

Якщо Землю прийняти за еліпсоїд, то формули масштабів за меридіаном і паралеллю приймуть вигляд

, (19)

Де М и N — відповідно радіуси кривизни нормальних перетинів за меридіаном і першим вертикалом, тобто по дузі великого кола, перпендикулярної до меридіана в даній точці.

Для визначення масштабу площі і максимального перекручування - напрямків будь-якої конічної проекції можуть бути застосовані формули з загальної теорії перекручувань

якщо

Або

якщо

З аналізу формул (19) видно, що масштаби M і N залежать від широти і не залежать від довготи . Отже, на одній і тій же паралелі при переході від точки до точки масштаб за меридіаном і масштаб уздовж паралелі будуть залишатися постійними. Хоча масштаб за меридіаном і не буде дорівнювати масштабові за паралеллю.

Для обчислення і побудови нормальної картографічної сітки будь-якої конічної проекції необхідно знати її показник і радіуси всіх паралелей . Знаючи , можна визначити кути між меридіанами на карті за формулою (13) і потім побудувати меридіани у вигляді пучка прямих, що виходять з однієї точки й утворюють між собою кути, рівні .

Паралелі можна побудувати, знаючи їхні радіуси, шляхом проведення відповідних дуг із точки сходу меридіанів. Однак унаслідок того, що побудова за полярними координатами і не забезпечує потрібної точності, картографічну сітку звичайно наносять за прямокутними координатами точок перетинання меридіанів і паралелей, які можна обчислити, знаючи і .

Приймемо за вісь X (мал. 2) середній меридіан OS картографуючої території, а за вісь Y лінію ОК, перпендикулярну до середнього меридіана в точці О перетинання його з південною паралеллю OD цієї території.

Нехай АС-паралель радіуса і SD — меридіан, що проходять через точку З на карті, - кут між меридіанами. Тоді відрізки

ОС1 = х і СС2=у.

Очевидно, що

Y= Psin ,

Мал.34 Координати точки З на площині

X = SO — SC1 =

Де — радіус південної паралелі на карті.

Таким чином, формули для визначення прямокутних координат

 

(20)

Y= P sin,

Через те, що середній меридіан є віссю симетрії, досить обчислити координати точок лише однієї половини сітки, для іншої половини абсциси симетричних точок залишаються ті ж, а ординати беруться зі знаком мінус.

Карти, складені в конічних проекціях

у залежності від масштабу і розмірів території, яка картографується, можуть складатися з одного або декількох аркушів. В останньому випадку карта називається багатоаркушною.

Рамка аркуша карти, як правило, має вигляд прямокутника. Якщо карта має один аркуш, то бічна сторона рамки паралельна середньому меридіанові аркуша. Якщо багатоаркушна - середньому меридіанові території, яка картографується, і пройде по середньому аркуші карти.

Перед обчисленням картографічної сітки як для багатоаркушної, так і одноаркушної карти встановлюється за будь-якої картою дрібного масштабу довгота середнього меридіана, що буде віссю X системи прямокутних координат. На середньому меридіані намічається початок координат, звичайно в точці перетинання його з південною паралеллю території, що картографуеться, або навіть трохи південніше для того, щоб не було негативних значень абсцис. На цій же карті, відповідно масштабу, розміру передбачуваних аркушів і частоті картографічної сітки, накидають схему розташування аркушів карти, що складається. Одночасно з цим вибирають точки перетинання меридіанів і паралелей, прямокутні координати яких варто обчислити. Обчислення координат точок роблять в одній системі і, з огляду на симетрію сітки, тільки на одну половину карти.

Нанесення картографічної сітки на аркуші карти, що складається, може вироблятися за допомогою координатографа або штангенциркуля і масштабної лінійки.

При побудові картографічної сітки на координатографі перед початком роботи вибирають новий початок обчислених координат точок, переміщаючи осі координат паралельно самим собі з таким розрахунком, щоб на всіх аркушах карти не малося негативних значень абсцис і ординат. Потім в обчислені координати всіх точок уводять виправлення за перенесення початку координат і в нових координатах визначають вершини кутів рамок окремих аркушів. Для полегшення обчислень розміри рамок аркушів (прямокутників) краще встановлювати в цілих сантиметрах. На кожен аркуш карти за допомогою координатографа наносять вершини кутів рамки і всі точки перетинання меридіанів і паралелей картографічної сітки.

При побудові картографічної сітки за допомогою штангенциркуля і масштабної лінійки немає необхідності в перенесенні початку координат, тому що в цьому випадку наявність негативних значень координат не викликає утруднень у нанесенні по них вузлових точок, тобто точок перетинання меридіанів і паралелей. За допомогою штангенциркуля на кожнім аркуші будують рамку прямокутника за розмірами її сторін. Потім, виходячи з координат вершин кутів рамки, проводять через визначений інтервал лінії координатної сітки і уже від них за прямокутними координатами наносять вузлові точки картографічної сітки. Усі точки, що лежать на одній паралелі, з'єднують між собою за допомогою лекала, підібраного по кривизні паралелі, що наноситься.

З конічних проекцій для оглядових карт і його окремих частин найбільш широке застосування одержали рівнокутні і рівнопроміжні проекції.

У рівнокутній конічній проекції (проекція Ламберта-Гаусса) у будь-якій точці карти масштаб не залежить від напрямку, тобто

Виходячи з цього, у курсах математичної картографії доводиться, що радіус будь-якої паралелі на карті

(21)

Де ДО — радіус екватора на карті (паралелі з = 0°),

— показник конічної проекції,

U — величина, що залежить від широти в і зв'язана з нею рівнянням

(22)

Тут — функція широти, обумовлена з рівняння

Е — ексцентриситет, обумовлений по формулі

У якій А і B — велика і мала півосі еліпсоїда.

Звичайно величина U не обчислюється, а вибирається з картографічних таблиць за аргументом широти (у таблицях дається значення lg).

Постійні конічної рівнокутної проекції і К Установлюються на основі додаткових вимог, яким повинна задовольняти проекція. Наприклад, ставиться вимога: знайти такі значення І ДО, при яких проекція була б, по-перше, рівнокутною і, по-друге, зберігала б масштаб на двох заданих паралелях перетину із широтами і .

Тоді І До знаходяться за формулами

(23)

(24)

Де R1 І r2 — радіуси паралелей перетину із широтами І на земному еліпсоїді.

Значення U1,U2, R1 І r2 Вибираються з картографічних таблиць, де вони виражені в метрах, за даними широтам паралелей перетину І .

Крім описаного, існує ще кілька інших способів визначення І ДО, кожний з яких характеризується своїми додатковими вимогами.

Перекручування в будь-якій точці карти знаходяться за загальними формулами конічних рівнокутних проекцій

Картографічна сітка будується за прямокутними координатами, що обчислюються по формулах (20) для всіх точок перетинання меридіанів і паралелей картографічної сітки. Значення і , що входять у ці формули, визначаються по формулах (21) і (13).

Слід зазначити, що радіус паралелі р, що обчислюється за формулою (21), буде виражений у метрах і в натуральну величину. Для того щоб виразити його в сантиметрах і в масштабі карти, необхідно отриманий результат помножити на 100 , де — головний масштаб карти.

Картографічна сітка в рівнокутній конічній проекції з паралелями перетину = 50° і 70° для карти показана на мал. 3. Значення масштабів, що характеризують перекручування в цій проекції, приведені в таблиці 2. У додатку I даний приклад обчислення картографічної сітки в рівнокутній конічній проекції.

Мал. 3. Картографічна сітка в рівнокутній конічній проекції

Таблиця 2

Масштаби в рівнокутній конічній проекції Ламберта-Гаусса

Для карти України

	30°	40°	50°	60°	70°	80°
	1,109	1,041	1,000	0,985	1,000	1,070
Р	1,229	1,084	1,000	0,970	1,000	1,145

У цій проекції складений ряд карт в Атласі офіцера. У рівнопроміжній конічної проекції (проекція Каврайського) масштаб дорівнює одиниці за всіма меридіанами і, крім того, за двома паралелями перетину із широтами і , підібраними під умовою мінімуму середнього квадратичного перекручування довжин у межах території, що картографуеться.

Професором В. В.Каврайським були знайдені значення широт і так званих стандартних паралелей, що після округлення до цілих градусів виявилися рівними:

= 47° , 62°

При вказаних значеннях широт формули для визначення і мають вигляд

(25)

(26)

(27)

Де І С – постійні проекції,

R1 І r2 – радіуси паралелей перетину із широтами І на земному еліпсоїді,

S – довжина дуги меридіана від екватора до даної паралелі.

Значення r і S вибираються з картографічних таблиць за аргументом широти .

Після того, як І визначені і знайдені значення за формулою (13), обчислюються за формулами (20) прямокутні координати точок перетинання меридіанів і паралелей картографічної сітки, за якими вона будується.

Картографічна сітка в рівнопроміжній конічної проекції Каврайського для карти показана на мал. 36. Значення масштабів і перекручувань кутів цієї проекції приведені в таблиці 3.

Таблиця 3

Масштаби і перекручування кутів у рівнопроміжній конічної проекції Каврайського для карт.

	30°	40°	50°	60°	70°	80°
П=р	1,065	1,020	0,995	0,996	1,041	1,235
	3°38'	1°07'	0°18'	0°15'	2°18'	12°13'

У проекції Каврайського складена велика кількість карт світу, навчальні і багато інших карт.

Мал 4. Картографічна сітка в рівнопроміжній конічної проекції Каврайського

Вправи

1. Обчислити значення lg U І lgR для широти 57°45'22".

Відповідь lg U = 0.53657, lgR = 6.53290.

2. Визначити на карті радіус паралелі для широти 46° при =0,75506, lg ДО=7.06509, де До виражено в метрах. Масштаб 1:2 000000 (еліпсоїд Красовського)

Відповідь: = 271,84 см.