Проекція Меркатора

Рівнокутна циліндрична проекція (проекція Меркатора)

Рівнокутна циліндрична проекція вперше була запропонована і застосована в 1569 році голландським картографом Меркатором.

Для висновку формул цієї проекції визначимо спочатку масштаб за паралелями у найпростішій із циліндричних проекцій у так названій квадратній проекції. У цій проекції меридіани і паралелі, проведені через однакове число градусів по довготі і широті, утворять на карті сітку квадратів, причому зберігаються довжини за всіма меридіанами і екваторові (проекція рівнопроміжна).

Нехай PC0A0 і PD0B0 (мал. 1) - меридіани на глобусі радіуса R з нескінченно малою різницею довгот , а прямі

Мал.1. Два меридіани і дві паралелі на глобусі і на карті в циліндричній проекції

СА і DB — відповідні меридіани на карті в квадратній проекції.

Тоді нескінченно малому відрізкові З0D0 довільної паралелі із широтою і радіусом r на глобусі буде відповідати на карті нескінченно малий відрізок CD, і масштаб за паралеллю

.

Але

CD = AB = A0B0 ,

Тому

Де A0B0 — дуга екватора.

Тому що відношення дуг кіл дорівнює відношенню їхніх радіусів, то

З ОС0С', де ОС0С' = Маємо

,

Отже,

(28)

З формули видно, що масштаб за паралеллю в квадратній проекції змінюється від одиниці до нескінченності, причому одиниці він дорівнює на екваторі (при = 0°), а в точці полюса (при = 90°). Полюс у квадратній проекції відобразиться відрізком прямої, рівним по довжині екваторові.

Тепер, щоб зробити масштаб за меридіанами рівним масштабові за паралелями (m=n), тобто щоб перейти від квадратної проекції до рівнокутної (від еліпсів перекручувань до кіл), необхідно меридіани квадратної проекції розтягти в кожній точці в стільки разів, у скількох разів паралелі цієї проекції збільшені стосовно відповідних паралелей глобуса, тобто в раз. Отже, для перетворення в першому наближенні квадратної картографічної сітки в картографічну сітку рівнокутної проекції необхідно відрізки меридіана ОА, АВ, ВС тощо. (мал. 2) відповідно помножити на 1, 2, 3 тощо, де 1, 2, 3 — відповідно широти середин цих відрізків.

Мал. 2. Перетворення квадратної проекції в рівнокутну циліндричну

Тоді меридіанний відрізок ОС1 у рівнокутній проекції, що відповідає відрізкові ОС у квадратній проекції, постане вираженням

ОС1 = ОA1 + A1В1, + У1С1 = ОA 1 + AB 2 + BC 3,

А тому що відрізки

ОА = АВ = ВР,

То

ОС1 =ОА ( 1 + 2 + 3).

Меридіанний відрізок ОС1 буде визначений тим точніше, чим меншими будуть узяті складові його відрізки, оскільки розтягання меридіанів повинне носити безперервний характер від екватора до даної паралелі.

Найбільш точний результат буде отриманий тоді, коли меридіанний відрізок D у проекції Меркатора буде складатися із суми нескінченно великої кількості нескінченно малих величин

,

Де Dx — нескінченно малий відрізок меридіана в квадратній проекції,

d — відповідний йому нескінченно малий відрізок меридіана в рівнокутній проекції Меркатора. Але через сталість масштабу за меридіанами у квадратній проекції відрізок

,

Звідси

Суму ж нескінченно малих величин у вищій математиці називають інтегралом. Взяти інтеграл від обох частин рівності це значить узяти суму нескінченно малих величин цих частин рівності у визначених межах.

Інтеграл від вираження в межах значення широти від 0 до напишемо так

У результаті інтегрування в лівій частині рівності одержимо меридіанний відрізок D; права ж частина рівності являє собою табличний інтеграл, рівний

Таким чином, меридіанний відрізок

,

де З-постійна інтеграції.

Величина З повинна бути постійною при всіх значеннях широти , тому її легко визначити, узявши = 0°. При = 0° паралель відповідає екваторові, для якого D = 0, тобто

Або

Але

,

Отже,

Переходячи від натурального логарифма до десяткового і виражаючи D у головному масштабі карти й у сантиметрах, будемо мати остаточну робочу формулу для обчислення меридіанного відрізка D у рівнокутній циліндричній проекції для кулі

(29)

Де Mod=0,4343.

Формула показує, що меридіанний відрізок D для полюса ( =90°) дорівнює нескінченності, тобто полюс на карті в цій проекції не відобразиться.

Приймаючи Землю за еліпсоїд, будемо мати формулу

(30)

Де А — радіус екватора земного еліпсоїда (виражений у метрах),

U — та ж величина, що й у формулі (22) рівнокутної конічної проекції.

Відстані між меридіанами в рівнокутній проекції, як і в квадратній проекції, визначаються за формулою

,

Де виражено в радіанній мірі. Приймаючи Землю за еліпсоїд і виражаючи в головному масштабі карти й у сантиметрах, будемо мати

Часто ця формула пишеться у вигляді

(31)

Де В — відстань від середнього меридіана карти до обумовленого,

°- різниця довгот середнього й обумовленого меридіанів, виражена в градусах, °=57°,3.

Очевидно, що перекручування в рівнокутній циліндричній проекції на дотичному циліндрі будуть виражатися формулами

(32)

(33)

Для обчислення меридіанних відрізків D, ординат У і масштабів у рівнокутній циліндричній проекції на січному циліндрі робочі формули будуть мати вигляд

(34)

(35)

(36)

(37)

Де r0— радіус паралелі перетину із широтою 0 на земному еліпсоїді,

r-радіус паралелі із широтою на земному еліпсоїді, за яким визначається масштаб,

- головний масштаб карти,

° — різниця довгот середнього й обумовленого меридіанів, виражена в градусах.

Для побудови картографічної сітки в проекції Меркатора і нанесення опорних пунктів на карту, що складається, необхідно знати прямокутні координати (меридіанний відрізок D і ординату у) точок перетинання меридіанів і паралелей і опорних пунктів.

Значення D за аргументом широти середнє вибирається зі спеціальних таблиць, складених Гідрографічним керуванням ВМФ, а значення У обчислюється за формулою (35).

За початок координат на морських картах береться точка перетинання середнього меридіана і головної паралелі морського басейну, для якого складаються карти. Ця паралель є паралеллю перетину, і масштаб за нєю дорівнює одиниці.

Знаючи прямокутні координати вершин кутів рамки аркуша карти, знаходять розміри сторін цієї рамки, як різниці меридіанних відрізків D для південної і північної паралелей і різниці значень У для західного і східного меридіанів. За знайденими розмірах сторін будують прямокутник (внутрішню рамку аркуша), що буде основою для побудови проміжних меридіанів і паралелей карти, а також для нанесення опорних пунктів.

Меридіани і паралелі в проекції Меркатора зображуються паралельними і взаємо-перпендикулярними прямими, тому для їхньої побудови досить визначити меридіанні відрізки D для точок перетинання паралелей карти з віссю X і ординати У для точок перетинання меридіанів карти з віссю У. Коли ці значення знайдені, визначають різниці D — Dю й у — у3 для зазначених точок. Тут Dю — меридіанний відрізок південної паралелі, а уз— ордината західного меридіана. Ці різниці відкладають від вершини південно-західного кута рамки по західній і південній сторонах і через точки відкладення проводять лінії, рівнобіжні відповідно південній і бічній сторонам, що і будуть паралелями і меридіанами карти.

Мал 3 Картографічна сітка в рівнокутній циліндричній проекції(Меркатора)

На мал. 3 показана картографічна сітка в рівнокутній циліндричній проекції (на дотичному циліндрі) для зображення земної кулі. Значення масштабів у цій проекції приведені в таблиці 4.

Таблиця 4

Масштаби в рівнокутній циліндричній проекції Меркатора.

	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°
M=n	1,000	1,035	1,155	1,414	2,000	3,864
Р	1,000	1,072	1,334	2,000	4,000	14,928

Завдяки тому, що проекція Меркатора є рівнокутною, а меридіани зображуються в ній паралельними прямими, вона володіє однією чудовою властивістю: лінія, що перетинає всі меридіани під тим самим кутом, зображується в цій проекції прямої. Така лінія називається локсодромією. Судно, що рухається, якщо воно за допомогою компаса тримає той самий курс, фактично йде по локсодромії. Зазначена властивість проекції Меркатора призвела до широкого її використання для морських карт.

Мал. 4. Ортодромия і локсодромія на карті в проекції Меркатора

За картою, складеною в проекції Меркатора, легко і просто відзначати шлях судна і визначати його постійний курс, тобто напрямок, за яким воно повинно рухатися, щоб потрапити з однієї точки в іншу. Постійний курс судна визначається шляхом виміру транспортиром кута між прямою, що з'єднує ці точки на карті, із одним з меридіанів.

Однак варто помітити, що при великій відстані між точками А и В (мал. 4) локсодромія на сфері значно відходить убік від ортодромії (найкоротшої відстані між цими точками), що у проекції Меркатора зображується кривою лінією.

Мал. 5. Ортодромія і локсодромія між Нью-Йорком і Москвою на карті в проекції Меркатора.

У цьому випадку штурман веде судно не за одним курсом, а за декількома, змінюючи напрямок руху у визначених точках (а і b). Шлях судна при цьому зобразиться на карті у вигляді ламаних ліній хорд, уписаних в ортодромію. Стосовно до малюнка, судно з точки А до точкі А піде під азимутом із точки А до точки b — під азимутом , із точки b до кінцевої точки В — під азимутом .

Для наочності можна вказати (мал. 5), що між Нью-Йорком і Москвою довжина ортодроміі складає 7507 км, а локсодромії — 8371 км, тобто різниця між їх довжинами дорівнює 864 км. Найбільше віддалення точок локсодромії від ортодроміі тут досягає 1650 км.

Друга зручність проекції Меркатора в застосуванні її для морських навігаційних карт полягає в тому, що вона дозволяє легко, з достатньою для практики точністю, визначати за картою відстані в морських милях, не прибігаючи при цьому до побудови особливих масштабів, а користуючись лише розподілами (у градусах або хвилинах), нанесеними на бічних сторонах рамки карти. Морська миля дорівнює 1852 м, що приблизно відповідає середній довжині дуги меридіана в одну хвилину.

Якщо, наприклад, по карті потрібно визначити в морських милях відстань АВ (мал. 6), то, знявши розчином циркуля відрізок АВ, прикладають циркуль до найближчої бічної сторони рамки карти так, щоб середина відрізка— точка С-виявилася на середній широті точок А и В (у точці С1). Кількість меридіанних хвилин, підрахована в межах цього відрізка, і буде виражати відстань АВ у морських милях (на мал. 6 відрізок АВ = 215 миль).

На закінчення необхідно відзначити, що при складанні топографічних і оглядово-топографічних карт різних масштабів широко використовуються як картографічний матеріал різні морські карти, складені в рівнокутній циліндричній проекції.

Мал. 6. Визначення відстані АВ у милях за картою в проекції Меркатора.

Тому знання особливостей цієї проекції має велике практичне значення.

Вправа

Обчислити меридіанний відрізок D і ординату У у рівнокутній циліндричній проекції на дотичному циліндрі для точки з географічними координатами = 30°, 35° (від середнього меридіана, прийнятого за вісь X) при = 1:5000000. Еліпсоїд Красовського.

Відповідь: D = 69,93 см; У = 77,92 см.