Поправки равноточных измерений одной и той же величины и их свойства

10. Поправки равноточных измерений одной и той же величины и их свойства

Если имеется ряд равноточных измерений одной и той же величины и из результатов измерений получено среднее арифметическое значение, то поправкой называют разность между средним арифметическим и результатом измерения, т. е.

(52)

Укажем на два свойства поправок равноточных измерений одной и той же величины:

(53)

(54)

Чтобы доказать первое свойство, просуммируем все равенства (52) с индексом i от 1 до n и получим

(55)

Подставим в это равенство вместо L его выражение . Тогда

Это свойство поправок используют для контроля правильности вычисления и , (i= 1, 2, …, n).

Если значение L получено с округлением величины частного , то

, (56)

где — погрешность округления.

В этом случае равенство (53) точно выполняться не будет, а вместо него должно выполняться соотношение которое получается, если равенство (55) подставить выражение (56).

Так как единицы последнего знака L, то должно выполняться условие единиц того же разряда. Все контроли остаются без изменения и при вычислении L через .

Смысл второго свойства заключается в том, что сумма квадратов отклонений (поправок) результатов измерений от среднего арифметического всегда меньше, чем от любого другого числа. Чтобы убедиться в справедливости этого, возьмем функцию , в которой х — переменная величина, а — результаты измерений, и найдем ее минимум.

Для этого определим

Приравняв эту производную к нулю и решив полученное равенство относительно х, найдем Следовательно.

Легко проверить, что при этом значении х величина z будет иметь минимум, т. е. .