Определение средних квадратичных погрешностей одного измерения и среднего арифметического по поправкам к результатам измерений

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

11. Определение средних квадратичных погрешностей одного измерения и среднего арифметического по поправкам к результатам измерений

Пусть произведено п равноточных измерений одной и той же величины, точное значение которой а неизвестно. В этом случае точность результатов измерений l1, l2, …, ln оценивают по поправкам к ним.

В теории погрешностей измерений требуется, чтобы характеристика точности т2 была состоятельной и несмещенной оценкой дисперсии Этим условиям удовлетворяет характеристика

Из этого равенства следует

. (57)

Значения т, полученные по формулам (29) и (57), будут различаться между собой. Но так как по вероятности (при ) они сходятся к , то при увеличении числа измерений они будут сближаться и между собой.

Средняя квадратичная погрешность m, вычисляемая по формуле (57), дает значение с некоторой погрешностью и является величиной случайной. Для оценки точности самой погрешности т существует приближенная формула

(58)

Получив значение т по этой формуле, находят среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического по формуле (51):

Если подставить выражение для т из формулы (57) в формулу (51), то найдем выражение средней квадратичной погрешности М через поправки:

(59)

Контроль вычисления выполняют следующим образом. Умножив равенство на и просуммировав по переменному индексу i от 1 до n, получают По свойству поправок 0, поэтому . После замены в этом равенстве , на , найдем, что

Существуют и иные формулы для этого контроля, например,

Если L получено с округлением, то указанный контроль не будет выполняться точно. В этом случае для строгого контроля может быть использовано равенство

.

Приближенный контроль может быть осуществлен с помощью неравенства единицы последнего знака L.

Пример : Обработать ряд равноточных измерений угла (табл. 3), т. е. найти среднее арифметическое, среднюю квадратичную погрешность одного измерения и среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического.

Таблица 3. Оценка точности измерений по поправкам

Номер измерения

Результат измерения

1

+12’’

+1’’

1

+12

2

18

0

+13

169

0

3

24

+6

+7

49

+42

4

48

+30

–17

289

–510

5

36

+18

–5

25

–90

+66

–1

533

–546

Контроль: