Средняя квадратичная погрешность одного измерения, определяемая по разностям двойных равноточных измерений

12. Средняя квадратичная погрешность одного измерения, определяемая по разностям двойных равноточных измерений

Если каждая из величин данного ряда измерена дважды и все измерения равноточны (например, измерения превышений по черным и красным сторонам реек при геометрическом нивелировании), то среднюю квадратичную погрешность одного измерения можно определить по разностям, полученным для каждой пары этих измерений, следующим образом.

Пусть имеется ряд двойных равноточных измерений

Найдем разности

Величины представляют измеренные значения разностей. При точных измерениях эти разности были бы равны нулю, т. е. истинное значение каждой из них равно нулю.

Поэтому на основании формулы (25)

т. е. погрешности разностей равным самим разностям .

Среднюю квадратичную погрешность одной разности вычислим по формуле (29)

а так как то

(60)

Разность – функция двух равноточных измерений поэтому на основании формулы (44) , где т — погрешность одного измерения, отсюда .

Подставив в это равенство вместо его значение (60), получим

(61)

Формула (61) дает возможность вычислить среднюю квадратичную погрешность одного измерения по разностям двойных измерений, если в разностях d нет систематических погрешностей. В том случае, когда в них имеется систематическая погрешность , ее следует определить и из разностей исключить.

Если бы в разностях не было случайных погрешностей, а была только одна систематическая, то все разности были бы равны . Поэтому можно рассматривать полученные разности как результаты равноточных измерений одной и той же величины . Тогда приближенное ее значение получают по формуле среднего арифметического

(62)

Исключив значение из разностей получим остаточные разности

(63)

Величина представляет собой разность между средним арифметическим значением и результатом измерения т. е. имеет тот же смысл, что и поправка . На этом основании в формуле (9.57) вместо подставим тогда получим

(64)

Так как то, заменив его выражением (64), найдем

(65)

Пример :. Найти среднюю квадратичную погрешность одного измерения угла по разностям двойных равноточных измерений (табл. 4).

Таблица 4.

Оценка точности по разностям двойных измерений