Равноточные измерения

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 3.67 (3 Голоса)

5. Равноточные измерения.

Свойства случайных погрешностей измерений

Если измеряют одну и ту же величину несколько раз или измеряют однородные величины при неизменном основном комплексе условий, т. е. одинаковыми по точности приборами, лицами одинаковой квалификации, одним и тем же методом и при одинаковых внешних условиях, то результаты измерений называют равноточными.

Проведение геодезических измерений показывает, что случайные погрешности результатов равноточных измерений обладают следующими статистическими свойствами, проявляющимися в больших рядах измерений:

1) по абсолютной величине погрешности не превышают некоторого предела;

2) положительные и отрицательные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются в ряду примерно одинаково часто;

3) чем больше погрешность по абсолютной величине, тем она реже встречается в ряду;

4) чем больше ряд измерений, тем меньше по абсолютной величине среднее арифметическое значение из погрешностей и при достаточно большом числе п измерений

(20)

Случайные погрешности равноточных измерений можно рассматривать как значения одной и той же случайной величины Д, которую также будем называть случайной погрешностью.

В соответствии с приведенными выше статистическими свойствами случайных погрешностей можно подобрать наиболее подходящую вероятностную модель их распределения — закон распределения случайной величины . Такой наиболее простой и достаточно точной вероятностной моделью распределения случайных погрешностей измерений является нормальное распределение.

Плотность нормального распределения случайной погрешности

(21)

где — среднее квадратическое отклонение случайной погрешности .

График (рис. 1, а) функции (21) называют кривой нормального распределения, или кривой Гаусса. Эта кривая симметрична относительно оси ординат.

Вероятность появления погрешности в интервале (х, х + dх) может быть выражена приближенным равенством На графике (см. рис. 1, а) наглядно видны вероятностные свойства случайной погрешности , имеющей нормальное распределение: положительные и отрицательные значения погрешности, равные по абсолютному значению, равновероятны; чем больше погрешности, равные по абсолютному значению, тем меньше вероятность их появления.

Описание: Рисунок_01.tif

Рис. 1. Графики нормального (а) и равномерного (б) распределения случайной погрешности

На основании определения математического ожидания (12)

(22)

Так как f(х) — функция четная, то подынтегральная функция х(fх) — нечетная, а потому нетрудно заключить, что значение интеграла в формуле (22) равно нулю, т. е. математическое ожидание случайной погрешности равно нулю

Это свойство случайной погрешности положено в основу всей теории случайных погрешностей измерений. Оно согласуется с четвертым статистическим свойством случайных погрешностей.

По закону больших чисел для случайных величин

(23)

т. е. при достаточно большом п можно считать, что

(24)

Нормальное распределение, достаточно хорошо отражая действительное распределение погрешностей измерений, имеет явное отличие от него: действительные погрешности по абсолютному значению не превышают определенного предела, а при нормальном распределении значение случайной величины может быть сколь угодно большим. Для практических целей это обстоятельство не имеет существенного значения, так как при нормальном распределении большие по абсолютному значению погрешности имеют очень малую вероятность. Учитывая это, обычно считают, что случайные погрешности измерений имеют нормальное распределение или приближенно нормальное.

Говоря о близости распределения погрешностей измерений к нормальному, имеют в виду распределение суммарных погрешностей результатов измерений. Эти погрешности являются суммами элементарных погрешностей, происходящих от отдельных факторов (причин). Законы распределения элементарных погрешностей могут сильно отличаться от нормального. Так, погрешность отсчета по шкале измерительного прибора имеет равномерное распределение.

Плотность равномерного распределения выражается равенствами:

(25)

где а — наибольшее значение погрешности (рис. 1, б).

Из формулы (25) и графика (см. рис. 1, б) видно, что вероятность появления значения погрешности, подчиняющейся равномерному закону распределения, во всем интервале (–а; +а) одинакова. Это означает, что погрешности, подчиняющиеся равномерному распределению, в больших рядах измерений в интервале (–а; +а) встречаются примерно одинаково часто независимо от их размера и знака. Три остальных свойства суммарных погрешностей измерений остаются верными и для погрешностей с равномерным распределением.

Случайными величинами являются и односторонне действующие погрешности. Характерное их отличие от погрешностей с нормальным распределением заключается в том, что математическое ожидание любой односторонне действующей погрешности не равно нулю

При рассмотрении свойств какой-либо погрешности необходимо определить основной комплекс условий, при котором она получена. Одна и та же погрешность, входящая в результаты измерения, может быть отнесена к различным видам погрешностей в зависимости от рассматриваемого основного комплекса условий. Например, погрешность в измеренной длине линии из-за погрешности в длине ленты будет постоянной (систематической) или случайной в зависимости от того, как измеряли или будут измерять линию: одной и той же лентой или разными.

Раньше было отмечено, что необходимо различать вероятностно зависимые и независимые случайные величины. Случайные погрешности, а следовательно, и измерения, их содержание, являются случайными величинами. Соответственно этому и измерения могут быть вероятностно независимыми или зависимы между собой. Зависимость между двумя измерениями может быть вызвана следующими причинами: погрешности измерений имеют некоторые общие источники; на погрешность результатов измерений наложены ограничительные условия (например, в виде допусков для невязок).

В дальнейшем будем считать, что измерения попарно независимы.


Равноточные измерения - 3.7 out of 5 based on 3 votes