Завдання - Еліпсоїд обертання

Завдання 1. По двом параметрам еліпсоїдів, наведених в Додатку, обчислити інші головні параметри і порівняти їх з парамет­рами еліпсоїда Красовського. Схематично показати окремі елементи на кресленні.

Еліпсоїд обертання, його елементи і співвідношення між ними.

Еліпсоїдом обертання – називається геометричне тіло, утворюване обертанням еліпса навкруги його малої осі. Рівняння його поверхні обертання в канонічній формі має вигляд:

(1)

Де - велика або екваторіальна піввісь еліпсоїда, - мала або полярна піввісь (мал.1).

Січення поверхні еліпсоїда площинами, перпендикулярними до осі обертання РР’, представляють собою кола, що називаються Паралелями. Найбільша паралель Е’Е, площина якої проходить через центр еліпсоїда О, називається Екватором. Екватор ділить еліпсоїд на дві однакові половини: північну і південну.

Площини, що проходять через малу вісь еліпсоїда, називаються Меридіанними площинами, а січеннями ними поверхні еліпсоїда – Меридіанами.

Меридіанні січення представляють собою еліпси. Відстань від центра еліпса до кожного з фокусів F1, F2, дорівнює , називається Лінійним ексцентриситетом, а відношення лінійного ексцентриситету до великої або малої півосі – Ексцентриситетом еліпса. У відповідності з цим розрізнюють перший і другий ексцентриситети меридіанного еліпса:

Перший ексцентриситет - (2)

Другий ексцентриситет - (3)

Лінійні елементи – велика і мала півосі – визначають розміри еліпса, а ексцентриситет – його форму, тобто більшу або меншу приплюснутість біля полюсів. Чим більша різниця між великою і малою півосями, тим більше ексцентриситет і навпаки. У кулі він дорівнює нулю.

Форму еліпса визначає також друга відносна величина, так званий Полярний стиск або просто стиск еліпсоїда, обчислюваний за формулою:

(4)

Як витікає з формули (1), еліпсоїд обертання повністю визначається двома елементами – великою і малою півосями. Замість малої півосі часто використовують стиск або ексцентриситет. Один з двох заданих елементів обов’язково повинен бути лінійним.

Поряд із співвідношеннями (2) – (4) між елементами еліпсоїда існують слідуючи залежності:

(5)

(6)

Вони витікають безпосередньо з формул (2) і (3). Якщо покласти:

; (7)

(8)

Можливо встановити, що:

, (9)

, (10)

Тому, що .

Полярний радіус кривизни (його інколи називають головним) дорівнює: . Основними радіусами кривизни в визначеній точці є: М – в площі меридіана, N – в площі першого вертикала (перший вертикал, - площина, що проходить через нормаль до еліпсоїда ортогонально до площини меридіана), - середній радіус кривизни. На екваторі радіус кривизни меридіана (М) мінімальний, екватора (N) і середній радіус кривизни (R) дорівнюють:

,

,

.

Із формул (4) і (7) витікає, що , звідки .

Приблизно вважають:

, (11)

. (12)

Для земного еліпсоїда, при орієнтовних обчисленнях, можна приймати: , ,.

Значення і е2 в сфероїдичній геодезії визначають величини першого порядку малості, 2 і е4 – другого порядку малості і так далі.

Порівняти параметри загально земного еліпсоїда WGS-84 (або ПЗ-90) з обчисленими параметрами Вашого референц-еліпсоїда:

Порівняння параметрів загальноземного еліпсоїда WGS-84 і еліпсоїда........................................

Додаток

Розміри земного еліпсоїда