Завдання - Еліпсоїд обертання

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 3.75 (2 Голоса)

Завдання 1. По двом параметрам еліпсоїдів, наведених в Додатку, обчислити інші головні параметри і порівняти їх з парамет­рами еліпсоїда Красовського. Схематично показати окремі елементи на кресленні.

Еліпсоїд обертання, його елементи і співвідношення між ними.

Еліпсоїдом обертання – називається геометричне тіло, утворюване обертанням еліпса навкруги його малої осі. Рівняння його поверхні обертання в канонічній формі має вигляд:

(1)

Де - велика або екваторіальна піввісь еліпсоїда, - мала або полярна піввісь (мал.1).

Січення поверхні еліпсоїда площинами, перпендикулярними до осі обертання РР’, представляють собою кола, що називаються Паралелями. Найбільша паралель Е’Е, площина якої проходить через центр еліпсоїда О, називається Екватором. Екватор ділить еліпсоїд на дві однакові половини: північну і південну.

Площини, що проходять через малу вісь еліпсоїда, називаються Меридіанними площинами, а січеннями ними поверхні еліпсоїда – Меридіанами.

Меридіанні січення представляють собою еліпси. Відстань від центра еліпса до кожного з фокусів F1, F2, дорівнює , називається Лінійним ексцентриситетом, а відношення лінійного ексцентриситету до великої або малої півосі – Ексцентриситетом еліпса. У відповідності з цим розрізнюють перший і другий ексцентриситети меридіанного еліпса:

Перший ексцентриситет - (2)

Другий ексцентриситет - (3)

Лінійні елементи – велика і мала півосі – визначають розміри еліпса, а ексцентриситет – його форму, тобто більшу або меншу приплюснутість біля полюсів. Чим більша різниця між великою і малою півосями, тим більше ексцентриситет і навпаки. У кулі він дорівнює нулю.

Форму еліпса визначає також друга відносна величина, так званий Полярний стиск або просто стиск еліпсоїда, обчислюваний за формулою:

(4)

Як витікає з формули (1), еліпсоїд обертання повністю визначається двома елементами – великою і малою півосями. Замість малої півосі часто використовують стиск або ексцентриситет. Один з двох заданих елементів обов’язково повинен бути лінійним.

Поряд із співвідношеннями (2) – (4) між елементами еліпсоїда існують слідуючи залежності:

(5)

(6)

Вони витікають безпосередньо з формул (2) і (3). Якщо покласти:

; (7)

(8)

Можливо встановити, що:

, (9)

, (10)

Тому, що .

Полярний радіус кривизни (його інколи називають головним) дорівнює: . Основними радіусами кривизни в визначеній точці є: М – в площі меридіана, N – в площі першого вертикала (перший вертикал, - площина, що проходить через нормаль до еліпсоїда ортогонально до площини меридіана), - середній радіус кривизни. На екваторі радіус кривизни меридіана (М) мінімальний, екватора (N) і середній радіус кривизни (R) дорівнюють:

,

,

.

Із формул (4) і (7) витікає, що , звідки .

Приблизно вважають:

, (11)

. (12)

Для земного еліпсоїда, при орієнтовних обчисленнях, можна приймати: , ,.

Значення і е2 в сфероїдичній геодезії визначають величини першого порядку малості, 2 і е4 – другого порядку малості і так далі.

Порівняти параметри загально земного еліпсоїда WGS-84 (або ПЗ-90) з обчисленими параметрами Вашого референц-еліпсоїда:

Порівняння параметрів загальноземного еліпсоїда WGS-84 і еліпсоїда........................................

Позначення параметру

Назва параметру

Загальноземний еліпсоїд WGS-84

Еліпсоїд

.............................

Велика піввісь

6 378 137.000 м

 

Мала піввісь

6 356 752.314 м

 

Полярний радіус кривизни (максим)

6 399 593.626 м

 

Радіус кривизни меридіана на екваторі

6 335 439.327 м

 

Полярний стиск

0.003352810665

 

Квадрат першого ексцентриситету

0.006694379993

 

Квадрат другого ексцентриситету

0.00673949682

 

Додаток

Розміри земного еліпсоїда

N п\п

Обчислювач

Рік визначення

Велика піввісь

Стиск,

1

Лаплас

1796

6 376 606

1:310.0

2

Даламбер

1800

6 375 653

1:344.0

3

Даламбер

1810

6 376 428

1:311.5

4

Вельбек

1819

6 376 896

1:302.8

5

Еверест

1830

6 377 276

1:300.8

6

Ейрі

1830

6 377 542

1:299.3

7

Бессель

1841

6 377 397

1:299.2

8

Теннер

1844

6 377 096

1:302.5

9

Ейрі

1849

6 377 563

1:299.3

10

Кларк

1858

6 378 293

1:294.3

11

Струве

1860

6 378 297

1:294.73

12

Шуберт

1861

6 378 547

1:283.0

13

Кларк

1866

6 378 206

1:295.0

14

Лістінг

1872

6 377 365

1:299.0

15

Кларк

1880

6 378 249

1:293.5

16

Кларк (для Ямайки)

1880

6 378 249.136

1:293.46631

17

Кларк (для Палестини)

1880

6 378 300.79

1:293.46623

18

Слудський

1892

6 377 494

1:297.1

19

Жданов

1893

6 377 717

1:299.7

20

Гельмерт

1907

6 378 200

1:298.3

21

Хейфорд

1909

6 378 388

1:297.0

22

Хейсканен

1929

6 378 400

1:298.3

23

Красовський

1936

6 378 210

1:298.6

24

Красовський

1940

6 378 245

1:298.3

25

Дисеффрис

1948

6 378 103

1:296.9

26

Австралійський

1965

6 378 160

1:298.2

27

„Стандартна Земля”

1973

6 378 140

1:298.256

28

WGS 72

1974

6 378 135

1:298.26

29

GEM-8 (супутн. модель)

1974

6 378 145

1:298.255

30

GEM-10 (супутн. модель)

1977

6 378 140

1:298.257

31

Датський

 

6 377 104

1:300.0

32

Плессіса

 

6 376 523

1:308.6

33

Струве

 

6 378 298

1:294.7

34

WGS 84

1984

6 378 137

1:298.257223563

35

ПЗ-90

1990

6 378 136

1:298.257839303


Завдання - Еліпсоїд обертання - 3.5 out of 5 based on 2 votes