Задание Эллипсоид вращения

Задание. По двум параметрам эллипсоидов, приведенных в Приложении, вычислить остальные главные параметры и сравнить их с параметрами эллипсоида WGS 84. Схематично показать отдельные элементы на чертеже.

Эллипсоид вращения, его элементы и соотношения между ними.

Эллипсоидом вращения называется геометрическое тело, полученное вращением эллипса вокруг его малой оси. Уравнение его поверхности вращения в канонической форме имеет вид:

(1)

Где - большая, или экваториальная полуось эллипсоида, - малая или полярная полуось (Рис.1).

Сечения поверхности эллипсоида плоскостями, перпендикулярными оси вращения , представляют собой окружность, называемые параллелями. Наибольшая параллель , плоскость которой проходит через центр эллипсоида О, называется экватором. Экватор делит эллипсоид на две одинаковые половины: южную и северную.

Плоскости, проходящие через малую ось эллипсоида, называются меридианными плоскостями, а сечения ими поверхности эллипсоида - меридианами.

Меридианные сечения представляют собой эллипсы. Расстояние от

Центра эллипса до каждого из фокусов , равное , называется линейным эксцентриситетом, а отношение линейного эксцентриситета к большой либо малой полуоси - эксцентриситетом эллипса. В соответствии с этим различают первый и второй эксцентриситет меридианного эллипса:

Первый эксцентриситет - (2)

Второй эксцентриситет - (3)

Линейные элементы - большая и малая полуоси - определяют размеры эллипсоида, а эксцентриситет - его форму, другими словами, большую либо меньшую приплюснутость у полюсов. Чем больше разность между большой и малой полуосями, тем больше эксцентриситет, и наоборот. У сферы он равен нулю.

Форму эллипса определяет также другая относительная величина, так называемое полярное сжатие, или просто сжатие эллипсоида, вычисляемое по формуле: (4)

Как вытекает из формулы (1), эллипсоид вращения полностью определяется двумя элементами - большой и малой полуосями. Вместо малой полуоси часто используют сжатие или эксцентриситет. Один из двух заданных элементов обязательно должен бить линейным.

Вместе с соотношениями (2) – (4) между элементами эллипсоида существуют следующие зависимости:

, (5)

. (6)

Они вытекают непосредственно из формул (2) и (3). Если положить:

, (7)

, (8)

Путем несложных преобразований можно получить:

, (9)

, (10)

Потому, что .

Полярный радиус кривизны (его иногда называют главным) равен:

. Основными радиусами кривизны в некоторой точке, являются:

М – в плоскости меридиана,

N – в плоскости первого вертикала (первый вертикал, - плоскость, проходящая через нормаль к эллипсоиду ортогонально к плоскости меридиана),

- средний радиус кривизны. На экваторе радиус кривизны меридиана (М) минимальный, экватора (N) и средний радиус кривизны (R) определяются выражениями:

Из формул (4) и (7), что , откуда .

Приблизительно считают:

, (11)

. (12)

Для земного эллипсоида, при ориентирных вычислениях, можно принять: .

Значения и в сферической геодезии определяют величины первого порядке малости, и - второго порядка малости, и так далее.