Определение координат точек

Определение координат точек способом засечек

Прямая угловая засечка

1) Прямая угловая засечка применяется в тех случаях, когда характер местности не позволяет, либо сильно затрудняет измерение линейных расстояний между точками, или искомая точка находится на значительном расстоянии от исходных пунктов.

Для определения координат точки Р необходимо измерить точным теодолитом углы на исходных пунктах 1 и 2 (β1 и β2) между стороной АВ и направлением на точку Р. Кроме того, нужны координаты исходных пунктов 1 и 2.

Координаты искомой точки можно определить по формулам Юнга:

(1)

Если мы используем внутренние углы β1, β2, βІ. В случае использования при вычислении дирекционных углов направлений с исходных пунктов на искомую точку применяются формулы Гаусса (формулы тангенсов):

(2)

Если α близко к 90° и 270° применяются формулы котангенсов:

(3)

СКП планового положения определяемой точки рассчитывается по формуле:

(4), где γ – угол засечки

γ = 180° – (β1 +β2) = α1р – α2р

ВЕДОМОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЯМОЙ УГЛОВОЙ ЗАСЕЧКИ (ПО ФОРМУЛАМ ЮНГА)

Для контроля применяются многократные прямые засечки с 3-х и более пунктов. При этом для каждого определённого значения координат точки Р определяют все , где С ≈ 1. За конечные значения координат берут средневзвешенное из всех найденных значений координат.

(5) (6)

Обратная однократная угловая засечка. Способ Кнейселя.

Нумерация по часовой стрелке.

За начало координат принимается пункт №1, затем находят условные координаты остальных исходных точек X'і и У'і

По условным координатам и измеренным углам β1 и β2 вычисляют коэффициенты:

(7)

Геометрическая сущность коэффициента С – котангенс

Затем определяются условные координаты искомой точки:

(8)

Координаты искомой точки будут (9)

СКП планового положения точки Р определяется по формуле:

(10)

ВЕДОМОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБРАТНОЙ УГЛОВОЙ ЗАСЕЧКИ (ПО ФОРМУЛАМ КНЕЙСЕЛЯ)

Как видно из формулы, Мр резко возрастает, если сумма γ1 + γ2 близки к 0° и 180°.

В первом случае точка лежит на прямой между пунктами 1, 2, 3 , во втором – на круге.

оптимально 30°<γ1+γ2<150°

К х точек прибавляем № п/п (к метрам)

к β1 – номер (к минутам)

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Точность определения координат обратной однократной угловой засечкой в несколько раз ниже, чем прямой угловой засечкой.

Для получения более точных координат точки Р берут обратные засечки на дополнительные пункты (обратная многократная засечка).

В данном случае считается, что координаты точки Р, дирекционные углы и расстояния, полученные при решении обратной однократной засечки, являются Приближёнными.

обозначим их хр, ур; ;

свободные члены уравнений поправок:

, где (11)

Здесь βp, i – приближённое значение измерения углов,

βi – измеренные углы

Находим коэффициенты уравнения поправок

(12) , где (13)

(14)

Уравнение поправок: (15)

Нормальные уравнения:

(16)

Поправки δx и δy к приближённым значениям координат и веса координат Рх и Ру вычисляются по уравнениям:

(17)

(18) поправки δх и δу будут получены в дециметрах, Рх и Ру будут иметь размерность

Правильность вычисления поправок определяется по формуле: (19)

Окончательные результаты вычислений координат:

(20)

дирекционных углов

расстояний

исправленные углы (21)

СКП измеренного угла , n – число углов (22)

СКП координат (23)

Передача координат с вершины знака на землю

При построении съёмочной сети часто возникает необходимость снесения (передачи) координат с исходного пункта (точки привязки) на грунтовый пункт. Это связано с тем, что исходным пунктом часто бывают постоянные предметы местности с известными координатами, например – труба котельной, водонапорная башня и т. д. с которых невозможно произвести угловые измерения. Для этого выбирается и закрепляется на местности точка Р с которой удобно производить измерения и намечают два базиса: и . Конечные точки (1 и 2) закрепляют кольями. В полученных треугольниках АР1 и АР2 углы при точке А должны быть не <30° и не >150°.

Для решения этой задачи базисы измеряют с относительной погрешностью не более 1/2000, углы в треугольниках S1, β1, S2, γ точным теодолитом полным приёмом. Кроме того, необходимо знать координаты пункта В.

Вначале по теореме синусов определяют расстояние SAP

(1) по двум треугольникам

Длину линии АВ (L) и дирекционный угол αАВ находить из решения обратной геодезической задачи:

; (2)

контрольная формула для αAB:

(3)

Углы μ и λ и дирекционный угол αАВ вычисляют по следующим формулам:

(4), (5), (6)

Теперь, решая прямую геодезическую задачу можно вычислить координаты точки Р:

(7)

Для контроля вычисляются дирекционный угол (8) и угол (9)

СКП вычисленного значения SPA

(10)

– СКП измерения базиса

и – СКП измерения углов

Предельно допустимое расхождение между значениями , полученное по двум базисам:

и – СКП и

(11)

СКП вычисленного значения дирекционного угла

(12)

СКП положения пункта Р: