Картографические проекции обзорных карт

Обзорные карты

Для обзорных карт, территория которых вытянута по долготе сравнительно широкой полосой, лучшими являются конические проекции на секущем конусе. В этих проекциях, как известно, сохраняется масштаб по параллелям сечения, а наибольшие искажения

Рис. 1. Два меридиана и две параллели на глобусе и на карте в конической проекции

Имеют место на крайних, северной и южной, параллелях т. е. в районах сравнительно менее обжитых.

Для суждения об искажениях в этих проекциях, определим масштабы по главным направлениям. Так как меридианы и параллели нормальной сетки в конических проекциях пересекаются под прямыми углами, то они являются главными направлениями в любой точке карты. Для определения масштабов по меридианам и параллелям необходимо взять отношение бесконечно малых отрезков меридиана и параллели на карте к соответствующим отрезкам на глобусе приусловии, что = 1.

Пусть И (рис.1 а) меридианы на глобусе с бесконечно малой разностью долгот, a Ssk и Sgl (рис. 1 6) —соответствующие меридианы на карте в конической проекции, угол между которыми Также бесконечно мал; и— параллели на глобусе с бесконечно малой разностью широт, a Sg и Kl — соответствующие им параллели на карте в той же проекции.

Введем обозначения:

R —радиус параллели на глобусе (земном шаре);

R —радиус глобуса (земного шара);

—широта параллели на глобусе (земном шаре);

— радиус той же параллели на карте;

Ds —бесконечно малый отрезок по меридиану на глобусе;

D— соответствующий ему бесконечно малый отрезок на карте.

Тогда будем иметь

или (17)

Ds Ray

Знак минус показывает, что с увеличением широты Радиус параллели На карте уменьшается.

Так как во всех конических проекциях

,

То и

Следовательно,

,

Или

Но радиус параллели на глобусе зависит от широты И может быть определен по формуле

,

Тогда

(18)

Если Землю принять за эллипсоид, то формулы масштабов по меридиану и параллели примут вид

, (19)

Где М и N — соответственно радиусы кривизны нормальных сечений по меридиану и первому вертикалу, т. е. по дуге большого круга, перпендикулярной к меридиану в данной точке.

Для определения масштаба площади и максимального искажения - направлений любой конической проекции могут быть применены формулы из общей теории искажений

если

Или

если

Из анализа формул (19) видно, что масштабы M и N зависят от широты и не зависят от долготы. Следовательно, на одной и той же параллели при переходе от точки к точке масштаб по меридиану и масштаб вдоль параллели будут оставаться постоянными. Хотя масштаб по меридиану и не будет равен масштабу по параллели.

Для вычисления и построения нормальной картографической сетки любой конической проекции необходимо знать ее показатель И радиусы всех параллелей. Зная, можно определить углы между меридианами на карте по формуле (13) и затем построить меридианы в виде пучка прямых, исходящих из одной точки и образующих между собой углы, равные.

Параллели можно построить, зная их радиусы, путем проведения соответствующих дуг из точки схода меридианов. Однако вследствие того, что построение по полярным координатам И не обеспечивает нужной точности, картографическую сетку обычно наносят по прямоугольным координатам точек пересечения меридианов и параллелей, которые можно вычислить, зная И.

Рис.2 Координаты точки С на плоскости

Примем за ось X (рис. 2) средний меридиан OS картографируемой территории, а за ось Y линию ОК, перпендикулярную к среднему меридиану в точке О пересечения его с южной параллелью OD этой территории.

Пусть АС—параллель радиуса и SD — меридиан, проходящие через точку С на карте,—угол между меридианами. Тогда отрезки

ОС1 = х и СС2=у.

Очевидно, что

Y= Psin ,

X = SO — SC1 =

Где — радиус южной параллели на карте.

Таким образом, формулы для определения прямоугольных координат

 

(20)

Y= Psin ,

Ввиду того, что средний меридиан является осью симметрии, достаточно вычислить координаты точек лишь одной половины сетки, для другой половины абсциссы симметричных точек остаются те же, а ординаты берутся со знаком минус.

Карты, составленные в конических проекциях, в зависимости от масштаба и размеров картографируемой территории могут состоять из одного или нескольких листов. В последнем случае карта называется многолистной.

Рамка листа карты, как правило, имеет вид прямоугольника. Если карта однолистная, то боковая сторона рамки параллельна среднему меридиану листа, если многолистная, то среднему меридиану картографируемой территории, который пройдет по среднему листу карты.

Перед вычислением картографической сетки как для многолистной, так и однолистной карты устанавливается по какой-либо карте мелкого масштаба долгота Среднего меридиана, который будет являться осью X системы прямоугольных координат. На среднем меридиане намечается начало координат, обычно в точке пересечения его с южной параллелью картографируемой территории или даже несколько южнее с тем, чтобы не было отрицательных значений абсцисс. На этой же карте, сообразуясь с масштабом, размером предполагаемых листов и частотой картографической сетки, набрасывают схему расположения листов составляемой карты. Одновременно с этим выбирают точки пересечения меридианов и параллелей, прямоугольные координаты которых следует вычислить. Вычисление координат точек производят в одной системе и, учитывая симметрию сетки, только на одну половину карты.

Нанесение картографической сетки на листы составляемой карты может производиться с помощью координатографа или штангенциркуля и масштабной линейки.

При построении картографической сетки на координатографе перед началом работы выбирают новое начало вычисленных координат точек, перемещая оси координат параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы на всех листах карты не имелось отрицательных значений абсцисс и ординат. Затем в вычисленные координаты всех точек вводят поправки за перенесение начала координат и в новых координатах определяют вершины углов рамок отдельных листов. Для облегчения вычислений размеры рамок листов (прямоугольников) лучше устанавливать в целых сантиметрах. На каждый лист карты с помощью координатографа наносят вершины углов рамки и все точки пересечения меридианов и параллелей картографической сетки.

При построении картографической сетки с помощью штангенциркуля и масштабной линейки нет необходимости в перенесении начала координат, так как в этом случае наличие отрицательных значений координат не вызывает затруднений в нанесении по ним узловых точек, т. е. точек пересечения меридианов и параллелей. С помощью штангенциркуля на каждом листе строят рамку прямоугольника по размерам ее сторон. Затем, исходя из координат вершин углов рамки, проводят через определенный интервал линии координатной сетки и уже от них по прямоугольным координатам наносят узловые точки картографической сетки. Все точки, лежащие на одной параллели, соединяют между собой с помощью лекала, подобранного по кривизне наносимой параллели.

Проекция Ламберта-Гаусса

Из конических проекций для обзорных карт и его отдельных частей наиболее широкое применение получили равноугольные и равнопромежуточные проекции.

В равноугольной конической проекции (проекция Ламберта-Гаусса) в любой точке карты масштаб не зависит от направления, т. е.

Исходя из этого, в курсах математической картографии доказывается, что радиус любой параллели на карте

(21)

Где К — радиус экватора на карте (параллели с = 0°),

— показатель конической проекции,

U — величина, зависящая от широты у и связанная с ней уравнением

(22)

Здесь — функция широты, определяемая из уравнения

Е — эксцентриситет, определяемый по формуле

В которой А и B — большая и малая полуоси эллипсоида.

Обычно величина U не вычисляется, а выбирается из картографических таблиц по аргументу широты (в таблицах дается значение lgU).

Постоянные конической равноугольной проекции И К Устанавливаются на основе дополнительных требований, которым должна удовлетворять проекция. Например, ставится требование: найти такие значения И К, при которых проекция была бы, во-первых, равноугольной и, во-вторых, сохраняла бы масштаб на двух заданных параллелях сечения с широтами И.

Тогда И К находятся по формулам

(23)

(24)

Где R1 И R2 — радиусы параллелей сечения с широтами ИНа земном эллипсоиде.

Значения U1,U2, R1 И R2 выбираются из картографических таблиц, где они выражены в метрах, по данным широтам параллелей сечения И.

Кроме описанного, существует еще несколько других способов определения И К, каждый из которых характеризуется своими дополнительными требованиями.

Искажения в любой точке карты находятся по общим формулам конических равноугольных проекций

Картографическая сетка строится по прямоугольным координатам, которые вычисляются по формулам (20) для всех точек пересечения меридианов и параллелей картографической сетки. Значения И, входящие в эти формулы, определяются по формулам (21) и (13).

Следует отметить, что радиус параллели р, вычисляемый по формуле (21), будет выражен в метрах и в натуральную величину. Для того чтобы выразить его в сантиметрах и в масштабе карты, необходимо полученный результат умножить на 100, где— главный масштаб карты.

Картографическая сетка в равноугольной конической проекции с параллелями сечения = 50° и 70° для карты показана на рис. 3. Значения масштабов, характеризующих искажения в этой проекции, приведены в таблице 2. В приложении I дан пример вычисления картографической сетки в равноугольной конической проекции.

Рис. 3. Картографическая сетка в равноугольной конической проекции

Таблица 2

Масштабы в равноугольной конической проекции Ламберта-Гаусса

Для карты Украины

	30°	40°	50°	60°	70°	80°
	1,109	1,041	1,000	0,985	1,000	1,070
Р	1,229	1,084	1,000	0,970	1,000	1,145

Проекция Каврайского

В этой проекции составлен ряд карт в Атласе офицера. В равнопромежуточной конической проекции (проекция Каврайского) масштаб равен единице по всем меридианам и, кроме того, по двум параллелям сечения с широтами И, подобранными под условием минимума среднего квадратического искажения длин в пределах картографируемой территории.

Профессором В. В. Каврайским были найдены значения широт ИТак называемых стандартных параллелей, которые после округления до целых градусов оказались равными:

= 47° , 62°

При указанных значениях широт формулы для определения И имеют вид

(25)

(26)

(27)

Где И С – постоянные проекции,

R1 И R2 – радиусы параллелей сечения с широтами ИНа земном эллипсоиде,

S – длина дуги меридиана от экватора до данной параллели.

Значения r и S выбираются из картографических таблиц по аргументу широты.

После того, как ИОпределены и найдены значения По формуле (13), вычисляются по формулам (20) прямоугольные координаты точек пересечения меридианов и параллелей картографической сетки, по которым она строится.

Картографическая сетка в равнопромежуточной конической проекции Каврайского для карты показана на рис. 36.Значения масштабов и искажений углов этой проекции приведены в таблице 3.

Таблица 3

Масштабы и искажения углов в равнопромежуточной конической

проекции Каврайского для карт.

	30°	40°	50°	60°	70°	80°
П=р	1,065	1,020	0,995	0,996	1,041	1,235
	3°38'	1°07'	0°18'	0°15'	2°18'	12°13'

В проекции Каврайского составлено большое количество карт мира, учебные и многие другие карты.

Рис 4. Картографическая сетка в равнопромежуточной конической проекции Каврайского

Упражнения

1. Вычислить значения lg U и lgR для широты 57°45'22".

Ответ lg U = 0.53657, lgR = 6.53290.

2. Определить на карте радиус параллели для широты =46° при = 0,75506, lg К=7.06509, где К выражено в метрах. Масштаб 1:2 000000 (эллипсоид Красовского)

Ответ: = 271,84 см.